03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
usando regras de logaritmo, exponencial e a regra da cadeia. Depois, vamos avaliar essa derivada no ponto
. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos, como derivar funções logarítmicas, e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que
. Então, aplicando isso na nossa função:
Isso facilita a hora de derivar, porque agora temos a diferença de dois logaritmos em vez de um logaritmo de uma fração.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte da função separadamente. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
. Vamos aplicar isso tanto para
quanto para
.
Passo 4
Vamos começar derivando
. Aqui,
, então sua derivada
. Aplicando a regra:
Agora, derivando
. Aqui,
, então
. Aplicando a regra:
Passo 5
Juntando as derivadas que calculamos, a derivada de
fica:
Para simplificar, podemos deixar assim ou encontrar um denominador comum, mas para avaliar em
, já está bom.
Passo 6
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Resposta
A derivada de
é
e, avaliando no ponto
, temos
.