03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto x=1.
f(x)=ln (3 x^22 x-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função f(x) = ln(3x^22x - 1) usando regras de logaritmo, exponencial e a regra da cadeia. Depois, vamos avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos, como derivar funções logarítmicas, e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln(AB) = ln(A) - ln(B) . Então, aplicando isso na nossa função:
f(x) = ln(3x^2) - ln(2x - 1)
Isso facilita a hora de derivar, porque agora temos a diferença de dois logaritmos em vez de um logaritmo de uma fração.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte da função separadamente. Lembrando que a derivada de ln(u) em relação a x é u'u , onde u é uma função de x . Vamos aplicar isso tanto para ln(3x^2) quanto para ln(2x - 1) .

Passo 4

Vamos começar derivando ln(3x^2) . Aqui, u = 3x^2 , então sua derivada u' = 6x . Aplicando a regra:
ddx ln(3x^2) = 6x3x^2 = 6x3x^2 = 2x
Agora, derivando ln(2x - 1) . Aqui, u = 2x - 1 , então u' = 2 . Aplicando a regra:
ddx ln(2x - 1) = 22x - 1

Passo 5

Juntando as derivadas que calculamos, a derivada de f(x) fica:
f'(x) = 2x - 22x - 1
Para simplificar, podemos deixar assim ou encontrar um denominador comum, mas para avaliar em x = 1 , já está bom.

Passo 6

Agora, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
f'(1) = 21 - 22(1) - 1 = 2 - 21 = 2 - 2 = 0

Resposta

A derivada de f(x) é f'(x) = 2x - 22x - 1 e, avaliando no ponto x = 1 , temos f'(1) = 0 .

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