O. 04 ( 1,25 ponto por item) Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso da regra da função composta. Verifíqu resultado realizando a substituição.
y=f(x)=(2 x+1)^2, onde x=3 w^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função composta usando a regra da função composta (também conhecida como regra da cadeia). A função que temos é:
y = f(x) = (2x + 1)^2
E sabemos que:
x = 3w^2
Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de y em relação a w , ou seja, dydw .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções envolvidas na composição:
  1. Função externa: y = (2x + 1)^2
  2. Função interna: x = 3w^2
A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta y = f(g(w)) , devemos multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna:
dydw = dydx cdot dxdw

Passo 3

Vamos calcular dydx primeiro. Temos:
y = (2x + 1)^2
Para derivar isso em relação a x , usamos a regra do poder, que diz que a derivada de u^n é n cdot u^n-1 cdot dudx . Aqui, u = 2x + 1 e n = 2 .
Então:
dydx = 2 cdot (2x + 1)^2-1 cdot ddx(2x + 1) = 2 cdot (2x + 1) cdot 2 = 4(2x + 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular dxdw . Sabemos que:
x = 3w^2
Derivando isso em relação a w :
dxdw = 3 cdot 2w = 6w

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia que mencionamos no Passo 2:
dydw = dydx cdot dxdw = 4(2x + 1) cdot 6w = 24w(2x + 1)

Passo 6

Mas lembrando que x = 3w^2 , podemos substituir x na expressão acima para deixar tudo em termos de w :
dydw = 24w(2(3w^2) + 1) = 24w(6w^2 + 1)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
dydw = 24w(6w^2 + 1) = 144w^3 + 24w

Resposta

A derivada de y em relação a w é:
dydw = 144w^3 + 24w

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