O. 04 ( 1,25 ponto por item) Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso da regra da função composta. Verifíqu resultado realizando a substituição.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função composta usando a regra da função composta (também conhecida como regra da cadeia). A função que temos é:
E sabemos que:
Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções envolvidas na composição:
- Função externa:
- Função interna:
A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta
, devemos multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Temos:
Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Derivando isso em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia que mencionamos no Passo 2:
Passo 6
Mas lembrando que
, podemos substituir
na expressão acima para deixar tudo em termos de
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: