1. (03 pontos) Atribua valor para \mathbf{X}. Após isso, responda o que se pede:
Os dados a seguir são referentes a estatura média dos alunos do curso de matemática da UNEAL.
i
ESTATURAS
(\mathrm{cm})
f_{i}
1 150+154 14
2 154+158 19
3 158+162 \mathbf{X}
4 162-166 18
5 166+170 25
6 170+174 23
Determine:
a) a média
b) a variância
c) a Amplitude amostral, o número de classes, a amplitude de classes e o ponto médio na 5^{a} classe.

Passo 1

Temos dados agrupados em 6 classes de tamanho igual, com frequências
\;f_{1}=14,\;f_{2}=19,\;f_{3}=X,\;f_{4}=18,\;f_{5}=25,\;f_{6}=23.
Os limites de classe são
[150,154],\;[154,158],\;[158,162],\;[162,166],\;[166,170],\;[170,174].
Precisamos calcular a média \bar x, a variância \sigma^2, a amplitude amostral R, o número de classes k, a amplitude de classe h e o ponto médio da 5ª classe.

Passo 2

Calcular os pontos médios de cada classe:
m_{1} = \frac{150+154}{2}=152,\quad m_{2} = \frac{154+158}{2}=156,\quad m_{3} = \frac{158+162}{2}=160,
m_{4} = \frac{162+166}{2}=164,\quad m_{5} = \frac{166+170}{2}=168,\quad m_{6} = \frac{170+174}{2}=172.

Passo 3

Calcular os somatórios em função de X:
N = \sum_{i=1}^{6}f_{i} = 14+19+X+18+25+23 = 99 + X,
\sum f_{i}m_{i} =14\cdot152+19\cdot156+X\cdot160+18\cdot164+25\cdot168+23\cdot172 =16200 + 160\,X,
\sum f_{i}m_{i}^{2} =14\cdot152^{2}+19\cdot156^{2}+X\cdot160^{2}+18\cdot164^{2} +25\cdot168^{2}+23\cdot172^{2} =2656000 + 25600\,X.

Passo 4

Calcular a média amostral \bar x:
\bar x = \frac{\sum f_{i}m_{i}}{N} = \frac{16200 + 160\,X}{99 + X}.

Passo 5

Calcular a variância amostral \sigma^{2} (usando definição de variância para dados agrupados):
\sigma^{2} = \frac{\sum f_{i}m_{i}^{2}}{N} \;-\;\bar x^{2} = \frac{2656000 + 25600\,X}{99 + X} \;-\; \Biggl(\frac{16200 + 160\,X}{99 + X}\Biggr)^{2}.

Passo 6

Amplitude amostral, número de classes, amplitude de classe e ponto médio da 5ª classe:
R = \max - \min = 174 - 150 = 24,
k = 6,
h = \frac{R}{k} = \frac{24}{6} = 4,
\text{ponto médio da 5ª classe }m_{5}=168.éª

Resposta

a) \displaystyle \bar x = \frac{16200 + 160\,X}{99 + X}.
b) \displaystyle \sigma^{2} = \frac{2656000 + 25600\,X}{99 + X} \;-\; \Bigl(\tfrac{16200 + 160\,X}{99 + X}\Bigr)^{2}.
c) R=24,\;k=6,\;h=4,\;m_{5}=168.

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