Um Banco A oferece uma alternativa de investimento onde você aplica \ 370.000 e recebe anualmente$70.000 ao longo de 20 anos. Um Banco B oferece uma alternativa de investimento onde, aplicando$ 400.000 , você recebe anualmenteê$75.000$ ao longo de 20 anos. Responda:
i) Quais as taxas de retorno das alternativas de investimento? [peso 1,5]
ii) Desenhe o gráfico VPL( \$\() x i (\%), entre 0 e 20\%, calculando o i\)\Delta (se estiver entre 0 e 20%) [peso 1,5]
iii) Faça uma análise de viabilidade e responda qual a melhor alternativa supondo cada uma das taxas minimas de atratividade (TMA): 2 \%, 7 \%, 12 \%, 16 \% e 19 \%. [peso 1,0 ]

    • Quando possivel, recomenda-se utilizar as tabelas do livro.
    • Pode ser utilizada calculadora.
    • Relações entre valores:
    F=P(1+i)^{n} \quad F=\frac{U(1+i)^{n}-1}{i} \quad U=\frac{P i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1} \quad F=G\left[\frac{(1+i)^{n}-1-n i}{i^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta duas alternativas de investimento, cada uma consistindo num desembolso inicial P e num recebimento anual uniforme U durante n=20 anos. O objetivo é:
  • i) calcular a taxa interna de retorno (TIR) de cada alternativa, isto é, a taxa i que anula o valor presente líquido (VPL);
  • ii) traçar qualitativamente o gráfico de \text{VPL}(i) para 0\%\le i\le20\%, identificando onde cada curva zera;
  • iii) para várias taxas mínimas de atratividade (TMAs), calcular o VPL de cada projeto e indicar quais são viáveis e qual é a melhor.
    O conteúdo usado será teoria de valor atual de anuidades e definição de VPL e TIR.

Passo 2

Para cada projeto a TIR satisfaz
-\,P + U\;\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i} \;=\;0.
No Banco A P=370\,000, U=70\,000:
70\,000\;\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i} \;=\;370\,000 \quad\Longrightarrow\quad i_{A}\approx18{,}3\%.
No Banco B P=400\,000, U=75\,000:
75\,000\;\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i} \;=\;400\,000 \quad\Longrightarrow\quad i_{B}\approx17{,}8\%.

Passo 3

As funções VPL em função de i são
\text{VPL}_{A}(i) =-370\,000 + 70\,000\,\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i},
\text{VPL}_{B}(i) =-400\,000 + 75\,000\,\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i}.
Para i\to0\% ambas tendem a U\cdot n - P (linhas partindo de 1{,}4 M– 370 k =1,03 M e 1,5 M– 400 k =1,1 M). As curvas decrescem convexamente com i, cruzando o eixo horizontal em suas respectivas TIRs ( \approx17{,}8\% e \approx18{,}3\%). As duas VPLs se igualam quando
\frac{1 - (1+i)^{-20}}{i}=6
em torno de i\approx15{,}8\%, acima da qual \text{VPL}_A>\text{VPL}_B.

Passo 4

Para cada TMA i^* calcula-se
\text{VPL}_{A}(i^*)=-370\,000+70\,000\frac{1-(1+i^*)^{-20}}{i^*}, \quad \text{VPL}_{B}(i^*)=-400\,000+75\,000\frac{1-(1+i^*)^{-20}}{i^*}.
Avalia-se viabilidade ( \text{VPL}>0) e compara-se os dois projetos.

Resposta

i) Taxas de retorno (TIR):
\displaystyle i_{A}\approx18{,}3\%, \displaystyle i_{B}\approx17{,}8\%.
ii) As curvas são
\text{VPL}_{A}(i)=-370\,000+70\,000\frac{1-(1+i)^{-20}}{i}, \quad \text{VPL}_{B}(i)=-400\,000+75\,000\frac{1-(1+i)^{-20}}{i}.
Elas começam em i=0\% em 1{,}03 M e 1{,}10 M, decrescem convexamente e cruzam o eixo em suas TIRs ( \approx17{,}8\% para B e \approx18{,}3\% para A). As duas se equalizam em i\approx15{,}8\%.
iii) Resultados por TMA:
Para i^*=2\%:
\text{VPL}_A\approx+776{,}3 k, \text{VPL}_B\approx+828{,}5 k \to ambas viáveis, B melhor.
Para i^*=7\%:
\text{VPL}_A\approx+371{,}7 k, \text{VPL}_B\approx+394{,}7 k \to ambas viáveis, B melhor.
Para i^*=12\%:
\text{VPL}_A\approx+152{,}9 k, \text{VPL}_B\approx+160{,}4 k \to ambas viáveis, B melhor.
Para i^*=16\%:
\text{VPL}_A\approx+45{,}0 k, \text{VPL}_B\approx+44{,}7 k \to ambas viáveis, A melhor.
Para i^*=19\%:
\text{VPL}_A\approx-13{,}1 k, \text{VPL}_B\approx-17{,}5 k \to nenhuma viável (ambas com VPL negativa).

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