4- O\) diâmetro \(X\) de um tubo é uma variável aleatória continua com f.d.p. dada por: \[f(x)= \begin{cases}3 x-\frac{3}{2} x^{2}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
A probabilidade de um tubo sair com defeito é de (\mathrm{p}=0,5125-\mathrm{P}(\mathrm{x} \leq 0,5)]. Se 25 tubos são fabricados, qual a probabilidade de que sejam defeituosos:
a) Pelos menos 4 tubos?
b) Exatamente 6 tubos?

Passo 1

O enunciado dá o diâmetro X de um tubo como variável contínua em [0,1] com densidade
f(x)=3x-\tfrac32x^2,\quad 0\le x\le1,
e define a probabilidade de defeito em um tubo por
p=0,5125-\Pr(X\le0,5).
Depois de achar p, modelamos o número de tubos defeituosos em n=25 como uma variável binomial \mathrm{Bin}(25,p) e calculamos (a) \Pr(Y\ge4) e (b) \Pr(Y=6).

Passo 2

Calcular a função de distribuição em x=0,5:
F(t)=\int_{0}^{t}\bigl(3x-\tfrac32x^2\bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac32x^2-\tfrac12x^3\Bigr]_{0}^{t} =\tfrac32t^2-\tfrac12t^3.
Logo,
\Pr(X\le0,5)=F(0,5) =\tfrac32\,(0,5)^2-\tfrac12\,(0,5)^3 =0,375-0,0625=0,3125.

Passo 3

Substituindo em p=0,5125-\Pr(X\le0,5), obtemos
p=0,5125-0,3125=0,20.

Passo 4

Seja Y\sim\mathrm{Bin}(25,0,20). Então
\Pr(Y=k)=\binom{25}{k}(0,20)^k(0,80)^{25-k}.

Passo 5

Para (a) queremos \Pr(Y\ge4)=1-\Pr(Y\le3), isto é
\Pr(Y\ge4) =1-\sum_{k=0}^{3}\binom{25}{k}(0,20)^k(0,80)^{25-k}.
Numericamente,
\sum_{k=0}^{3}\binom{25}{k}(0,20)^k(0,80)^{25-k}\approx0,23412,
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\Pr(Y\ge4)\approx1-0,23412=0,76588.

Passo 6

Para (b) basta
\Pr(Y=6)=\binom{25}{6}(0,20)^6(0,80)^{19}.
Calculando,
\binom{25}{6}=177100,
\Pr(Y=6)\approx177100\cdot(0,20)^6\cdot(0,80)^{19}\approx0,1634.

Resposta

(a) \Pr(Y\ge4)\approx0,7659
(b) \Pr(Y=6)\approx0,1634

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