03)(1,5 pontos) A Lua está aproximadamente a 4000000 km da Terra. Considere um telescópio na superfície terrestre que tenha uma lente com 15 cm de diâmetro. Suponha que você está observando em condições ideais e com luz de comprimento de onda de 700 nm.
a) Duas crateras lunares distantes 50 km uma da outra, podem ser resolvidas por este telescópio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se um telescópio com uma lente de 15 cm de diâmetro pode distinguir duas crateras na Lua que estão separadas por 50 km. Vamos trabalhar com princípios de óptica, especificamente sobre a resolução angular de um telescópio. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam o diâmetro da lente, o comprimento de onda da luz e a distância até o objeto observado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Distância da Terra à Lua (L): 4.000.000 km
  • Diâmetro da lente do telescópio (D): 15 cm
  • Comprimento de onda da luz (λ): 700 nm (nanômetros)
  • Distância entre as crateras (s): 50 km

Passo 3

Agora, precisamos calcular a resolução angular do telescópio. A resolução angular nos diz o menor ângulo entre dois objetos que o telescópio consegue distinguir como separados. A fórmula que usamos para isso é:
theta = 1,22 times lambdaD
Onde:
  • theta é a resolução angular em radianos,
  • lambda é o comprimento de onda da luz,
  • D é o diâmetro da lente do telescópio.

Passo 4

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro da lente ( D) = 15 cm = 0,15 m
  • Comprimento de onda ( lambda) = 700 nm = 700 times 10^-9 m
  • Distância entre as crateras ( s) = 50 km = 50.000 m
  • Distância Terra-Lua ( L) = 4.000.000 km = 4 times 10^9 m

Passo 5

Agora, vamos calcular a resolução angular ( theta):
theta = 1,22 times 700 times 10^-9 m0,15 m = 854 times 10^-90,15 approx 5,693 times 10^-6 radianos

Passo 6

Em seguida, vamos determinar qual é a menor separação física ( smíní) que o telescópio pode resolver a essa distância ( L) usando a relação:
smín = theta times L í
Substituindo os valores:
smín = 5,693 times 10^-6 radianos times 4 times 10^9 m approx 22.772 m í

Passo 7

Agora, comparamos a separação das crateras ( s = 50.000 m) com a menor separação que o telescópio pode resolver ( smín approx 22.772 mí).
Como 50.000 m > 22.772 m, isso significa que as crateras estão separadas por uma distância maior do que a capacidade de resolução do telescópio.

Resposta

Sim, as duas crateras lunares distantes 50 km uma da outra podem ser resolvidas por este telescópio.

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