1. (03 pontos) A variável aleatória X possui a seguinte distribuição de probabilidades:
x P(X=x)=P(x)
0 0,343
1 0,441
2 0,189
3 0,027
Total 1,000
a) Determine sua função de distribuição acumulada
b) Determine a Esperança de X

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta X que assume os valores 0,1,2,3 com probabilidades
P(X=0)=0,343,\quad P(X=1)=0,441,\quad P(X=2)=0,189,\quad P(X=3)=0,027.
Pede-se: a) a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x); b) a esperança \mathbb{E}[X]. Vamos usar soma cumulativa de probabilidades para (a) e a definição de esperança para variáveis discretas em (b).

Passo 2

Para construir F(x), somamos sucessivamente as massas até cada ponto de mudança:
P(X\le 0)=0,343,
P(X\le 1)=0,343+0,441=0,784,
P(X\le 2)=0,784+0,189=0,973,
P(X\le 3)=0,973+0,027=1.
Logo, em forma de função de partes,
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 0,343, & 0\le x<1,\\\\ 0,784, & 1\le x<2,\\\\ 0,973, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}

Passo 3

A esperança de X é definida por
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=0}^{3}i\,P(X=i).
Substituindo os valores:
\mathbb{E}[X] =0\cdot0,343+1\cdot0,441+2\cdot0,189+3\cdot0,027 =0,441+0,378+0,081 =0,900.

Resposta

a)
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 0,343, & 0\le x<1,\\\\ 0,784, & 1\le x<2,\\\\ 0,973, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}
b) \mathbb{E}[X]=0,900.

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