Questão 1 (3,5 pontos) A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dado por:
\begin{aligned} & c x, y, x=(1,2,3), y=(1,2,3)) \\\ & f(x, y)=0 \quad \text { para outros valores } \end{aligned}
Determinar:
a) a distribuição conjunta
b) as distribuições marginais
c) a fdp de Y condicionada a \mathrm{X}=3
d) o valor esperado de X, condicionado a Y=2
e) se X e Y são v.a.s. independentes

Passo 1

No enunciado temos duas variáveis aleatórias discretas X\) e \(Y\) com função de probabilidade conjunta \[f(x,y)= \begin{cases} c\,x\,y, & x\in\{1,2,3\},\;y\in\{1,2,3\},\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Para resolver vamos precisar de:
  1. Normalizar a pmf (achar c\]). 2. Obter as marginais somando sobre \(y e sobre x.
    3. Calcular a condicional f_{Y\mid X=3}.
    4. Calcular E[X\mid Y=2].
    5. Testar independência via f(x,y)\stackrel{?}{=}f_X(x)f_Y(y).

Passo 2

Impondo \sum_{x=1}^3\sum_{y=1}^3 f(x,y)=1 temos
\sum_{x=1}^3\sum_{y=1}^3 c\,x\,y = c\bigl(\sum_{x=1}^3 x\bigr)\bigl(\sum_{y=1}^3 y\bigr) = c\cdot6\cdot6 =36c
logo 36c=1 e
c=\frac1{36}.

Passo 3

Substituindo c obtemos a distribuição conjunta
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{36}, & x,y\in\{1,2,3\},\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 4

As distribuições marginais vêm somando a conjunta:
f_X(x)=\sum_{y=1}^3\frac{x\,y}{36} =\frac{x}{36}\cdot6 =\frac{x}{6},\quad x=1,2,3,
f_Y(y)=\sum_{x=1}^3\frac{x\,y}{36} =\frac{y}{36}\cdot6 =\frac{y}{6},\quad y=1,2,3.

Passo 5

A fdp condicional de Y dado X=3 é
f_{Y\mid X}(y\mid3) =\frac{f(3,y)}{f_X(3)} =\frac{\tfrac{3y}{36}}{\tfrac{3}{6}} =\frac{y/12}{1/2} =\frac{y}{6},\quad y=1,2,3.

Passo 6

Primeiro a condicional de X dado Y=2:
f_{X\mid Y}(x\mid2) =\frac{f(x,2)}{f_Y(2)} =\frac{\tfrac{2x}{36}}{\tfrac{2}{6}} =\frac{x/18}{1/3} =\frac{x}{6},\quad x=1,2,3.
Daí
E[X\mid Y=2] =\sum_{x=1}^3 x\,f_{X\mid Y}(x\mid2) =\sum_{x=1}^3 x\cdot\frac{x}{6} =\frac{1+4+9}{6} =\frac{14}{6} =\frac{7}{3}.

Passo 7

Para independência verificamos se
f(x,y)\stackrel{?}{=}f_X(x)\,f_Y(y).
Como
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{x}{6}\,\frac{y}{6} =\frac{x\,y}{36} =f(x,y)
para todo x,y, concluímos que X e Y são independentes.

Resposta

(a) f(x,y)=\frac{x\,y}{36},\quad x,y\in\{1,2,3\}.
(b) f_X(x)=\frac{x}{6},\;x=1,2,3;\quad f_Y(y)=\frac{y}{6},\;y=1,2,3.
(c) f_{Y\mid X}(y\mid3)=\frac{y}{6},\;y=1,2,3.
(d) E[X\mid Y=2]=\frac{7}{3}.
(e) Sim, X e Y são independentes, pois \,f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y).

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