Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaia e até hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado (x) e o número de tatuzinhos por metro quadrado (y) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
x 5,9 3,6 8,8 11,7 6,3 5,0 4,5 4,9 10,4 5,0
y 108 86 103 136 9 4 68 91 101 56
x 4,4 9,1 6,3 10,9 5,7 8,4 13,3 14,2 10,2 3,6
y 12 136 99 94 145 124 177 259 101 7
a) Ache a reta de regressão estimada.
b) Testar a existência da regressão ao nível de significância de 0,05 .
c) Determinar o R^{2} e interpretar.
d) Para um número estimado de tatuzinho por metro quadrado igual a 150 , qual deveria ser o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado?

Passo 1

O enunciado fornece n=20 pares de observações (x_i,y_i), onde x é a densidade de trevo vermelho e y a densidade de tatuzinhos. Precisamos:
  1. Ajustar a reta de regressão simples \hat y = \beta_0 + \beta_1 x.
  2. Testar H_0:\beta_1=0 ao nível \alpha=0,05.
  3. Calcular o coeficiente de determinação R^2 e interpretá-lo.
  4. Para \hat y=150, estimar o valor de x.

Passo 2

Primeiro calculamos as estatísticas resumo:
\sum x_i =152{,}2,\quad \sum y_i =1916,\quad \sum x_i^2 =1363{,}46,\quad \sum y_i^2 =256842,\quad \sum x_i y_i =17497{,}5.
As médias são
\bar x = \frac{152{,}2}{20} = 7{,}61,\qquad \bar y = \frac{1916}{20} = 95{,}8.
Definimos
S_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar x^{2} =1363{,}46 -20\,(7{,}61)^2 =204{,}418,
S_{xy} = \sum x_i y_i - n\bar x\,\bar y =17497{,}5 -20\cdot7{,}61\cdot95{,}8 =2916{,}74.
Daí os estimadores
\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx \frac{2916{,}74}{204{,}418}\approx14{,}27,
\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1\,\bar x =95{,}8 -14{,}27\cdot7{,}61\approx -12{,}78.
Logo a reta estimada é
\boxed{\hat y = -12{,}78 + 14{,}27\,x.}

Passo 3

Para testar H_0:\beta_1=0 usamos
\text{SST} = \sum(y_i-\bar y)^2 = \sum y_i^2 - n\bar y^2 =256842 -20\,(95{,}8)^2 =73429{,}2,
\text{SSR} = \hat\beta_1\,S_{xy} \approx14{,}27\cdot2916{,}74 =41617{,}1,
\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} =73429{,}2 -41617{,}1 =31812{,}1.
O quadrado médio do erro é
\text{MSE} = \frac{\text{SSE}}{n-2} =\frac{31812{,}1}{18}\approx1767{,}34,
e o erro-padrão de \hat\beta_1 é
\mathrm{se}(\hat\beta_1) =\sqrt{\frac{\text{MSE}}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{1767{,}34}{204{,}418}} \approx2{,}94.
A estatística de teste vale
t = \frac{\hat\beta_1}{\mathrm{se}(\hat\beta_1)} \approx\frac{14{,}27}{2{,}94}\approx4{,}85.
Para g.l.=18 e \alpha=0{,}05 (bicaudal) o crítico é t_{0{,}025,18}\approx2{,}101. Como 4{,}85>2{,}101, rejeitamos H_0: há evidência de regressão significativa.

Passo 4

O coeficiente de determinação é
R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} \approx\frac{41617{,}1}{73429{,}2}\approx0{,}567.
Isso significa que cerca de 56{,}7\% da variabilidade em y é explicada pela reta de regressão em função de x.

Passo 5

Para \hat y=150 invertemos a reta:
150 = -12{,}78 +14{,}27\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{150 +12{,}78}{14{,}27} \approx11{,}41.

Resposta

a) \displaystyle \hat y = -12{,}78 + 14{,}27\,x.
b) t\approx4{,}85>2{,}101, rejeita-se H_0: há regressão significativa ao nível 0{,}05.
c) R^2\approx0{,}567 (56,7% da variação de y explicada por x).
d) Para \hat y=150, estima-se x\approx11{,}41.

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