[03] Seja P2(R) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
p(x)=3-x+x^2, q(x)=2+5 x^2
Determine:
(a) A norma (comprimento) de p e q.
(b) A distância entre p e q.
(c) O ângulo entre p e q.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar em P2(R) com o produto interno canônico (isto é, o produto escalar usual em R^3 via os coeficientes na base 1,x,x^2). Vamos identificar
p(x)=3 - x + x^2long<=ftrightarrow (3,-1,1), q(x)=2 + 5x^2long<=ftrightarrow (2,0,5)
e calcular (a) normas, (b) distância e (c) ângulo entre esses vetores.

Passo 2

O produto interno canônico em P2(R) é dado por
lang<= p,qrang<= = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2
se p(x)=a0+a1x+a2x^2 e q(x)=b0+b1x+b2x^2.
Definimos então
|p| = raizlang<= p,prang<=, d(p,q) = |p-q|, costheta = lang<= p,qrang<=|p||q|

Passo 3

Para p(x) temos o vetor (3,-1,1) e para q(x) o vetor (2,0,5).
Logo,
|p| = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz11,
|q| = raiz2^2 + 0^2 + 5^2 = raiz29

Passo 4

O vetor diferença é
p - q long<=ftrightarrow (3-2,,-1-0,,1-5) = (1,-1,-4)
Portanto
d(p,q) = raiz1^2 + (-1)^2 + (-4)^2 = raiz18 = 3raiz2

Passo 5

O produto interno entre p e q é
lang<= p,qrang<= = 3cdot2 + (-1)cdot0 + 1cdot5 = 11
Assim
costheta = 11raiz11,raiz29 = 11raiz319,
e
theta = arccos!l(11raiz319r)

Resposta

(a) |p| = raiz11, |q| = raiz29.
(b) d(p,q) = 3raiz2.
(c) theta = arccosl(11raiz319r).

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