Seja V(R) um espaço vetorial de dimensão finita n, sobre o corpo R. Sejam U e W subespaços vetoriais de V(R).
a) Se V(R)=U oplus W e dim V(R) é par, o que se pode dizer de dim U e dim W ?
b) Se dim V(R)=7 e U cap W neq0, o que se pode dizer de dim(U+W) ?
c) Se U cap W=0, dim U é par e dim V(R)=7, quais os possíveis valores para dim U e dimW ?

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial real V de dimensão finita n e de dois subespaços U e W. Vamos usar o teorema da dimensão para soma e interseção de subespaços, que diz
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W),
além do fato de que, se V=Uoplus W, então necessariamente dim V=dim U+dim W.

Passo 2

a) Se V=Uoplus W, então
dim V=dim U+dim W
Como dim V=n é par, a soma dim U+dim W é um número par. Mas a soma de dois inteiros é par exatamente quando ambos são pares ou ambos são ímpares. Logo, em Uoplus W com dim V par, ou
  • dim U e dim W são ambos pares,
    ou
  • dim U e dim W são ambos ímpares.

Passo 3

b) Agora suponha dim V=7 e Ucap Wneq0. Então dim(Ucap W)>=1 e a fórmula da dimensão dá
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) <=dim U+dim W-1
Em particular, dim(U+W)<dim U+dim W. E, como U+Wsubseteq V, também vale dim(U+W)<=7.

Passo 4

c) Se Ucap W=0, então dim(Ucap W)=0 e da fórmula da dimensão segue
dim(U+W)=dim U+dim W
Supondo ainda que Uoplus W=V (isto é, soma direta gerando todo V), temos dim(U+W)=dim V=7. Somando,
dim U+dim W=7,
e nos dizem que dim U é par. Os inteiros pares não negativos menores que 7 são 0,2,4,6. Para cada escolha de dim U par,
dim W=7-dim U
é forçosamente ímpar. Portanto os pares (dim U,dim W) possíveis são
(0,7),;(2,5),;(4,3),;(6,1)

Resposta

a) dim U e dim W são ambos pares ou ambos ímpares.
b) dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)<=dim U+dim W-1, de modo que é estritamente menor que dim U+dim W e no máximo 7.
c) (dim U,dim W)in(0,7),(2,5),(4,3),(6,1).

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