Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
, sobre o corpo
. Sejam
e
subespaços vetoriais de
.
a) Se
e
é par, o que se pode dizer de
e
?
b) Se
e
, o que se pode
?
c)
é par e
, quais os possíveis valores para
e
?
a) Se
b) Se
c)
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial real
de dimensão finita
e de dois subespaços
e
. Vamos usar o teorema da dimensão para soma e interseção de subespaços, que diz
além do fato de que, se
, então necessariamente
.
Passo 2
a) Se
, então
Como
é par, a soma
é um número par. Mas a soma de dois inteiros é par exatamente quando ambos são pares ou ambos são ímpares. Logo, em
com
par, ou
-
e são ambos pares,
ou -
e são ambos ímpares.
Passo 3
b) Agora suponha
e
. Então
e a fórmula da dimensão dá
Em particular,
. E, como
, também vale
.
Passo 4
c) Se
, então
e da fórmula da dimensão segue
Supondo ainda que
(isto é, soma direta gerando todo
), temos
. Somando,
e nos dizem que
é par. Os inteiros pares não negativos menores que 7 são
. Para cada escolha de
par,
é forçosamente ímpar. Portanto os pares
possíveis são
Resposta
a)
e
são ambos pares ou ambos ímpares.
b) , de modo que é estritamente menor que
e no máximo 7.
c) .
b)
c)