[05] Seja M(2,2) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere as matrizes
A=[cc -2 & 4 0 & 1 ], B=[cc 5 & -1 1 & 3 ]
Determine:
(a) A norma (comprimento) de A e B.
(b) A distância entre A e B.
(c) O ângulo entre A e B.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes em M(2,2) com o produto interno canônico
lang<= X,Yrang<= = Tr(X^T Y)=sumi,jXijYij
Precisamos calcular
(a) as normas |A| e |B|,
(b) a distância d(A,B)=|A-B|,
(c) o ângulo theta tal que
costheta = lang<= A,Brang<=|A||B|

Passo 2

Calcular |A| e |B| usando |X|=raizlang<= X,Xrang<==raizsum Xij^2.
Para
A=-2&40&1:
sum Aij^2 =(-2)^2+4^2+0^2+1^2=4+16+0+1=21 Longrightarrow |A|=raiz21
Para
B=5&-11&3:
sum Bij^2 =5^2+(-1)^2+1^2+3^2=25+1+1+9=36 Longrightarrow |B|=6

Passo 3

Calcular a distância |A-B|.
A-B=-2-5 & 4-(-1) 0-1 &1-3 =-7&5-1&-2
Então
sum (A-B)ij^2 =(-7)^2+5^2+(-1)^2+(-2)^2 =49+25+1+4=79 Longrightarrow d(A,B)=raiz79

Passo 4

Calcular o ângulo usando
lang<= A,Brang<= =sum AijBij =(-2)cdot5 + 4cdot(-1) + 0cdot1 + 1cdot3 = -10-4+0+3 = -11
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costheta = -11|A||B| = -11raiz21,cdot6 = -116raiz21,
theta = arccos!l(-tfrac116raiz21r)

Resposta

(a) |A|=raiz21, |B|=6.
(b) d(A,B)=raiz79.
(c) theta=arccos!l(-tfrac116raiz21r).

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