Resolva o sistema de equações lineares
rrr 2 x1-3 x2+4 x3-x4+x5= & 2 4 x1-6 x2+3 x3-5 x4+2 x5= & 7 -2 x1+3 x2-x3-2 x4+4 x5= & -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O problema que temos aqui envolve encontrar os valores das variáveis x1, x2, x3, x4 e x5 que satisfazem todas as três equações dadas. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, mais especificamente, o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
2x1 - 3x2 + 4x3 - x4 + x5 = 2 4x1 - 6x2 + 3x3 - 5x4 + 2x5 = 7 -2x1 + 3x2 - x3 - 2x4 + 4x5 = -1

Passo 3

Nosso objetivo é simplificar esse sistema para encontrar relações mais fáceis entre as variáveis. Vamos começar multiplicando a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de x1 nas equações seguintes:
2 times (Equação 1) Rightarrow 4x1 - 6x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5 = 4 çã

Passo 4

Agora, vamos subtrair essa nova equação da segunda equação original para eliminar x1 :
(Equação 2) - (Nova Equação 1) Rightarrow (4x1 - 6x2 + 3x3 - 5x4 + 2x5) - (4x1 - 6x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5) = 7 - 4 çãçã
Simplificando isso, temos:
0x1 + 0x2 -5x3 -3x4 + 0x5 = 3
Ou seja:
-5x3 - 3x4 = 3 (Equação 4) çã

Passo 5

Vamos fazer uma abordagem semelhante com a terceira equação. Adicionamos a primeira equação à terceira para eliminar x1 :
(Equação 3) + (Equação 1) Rightarrow (-2x1 + 3x2 - x3 - 2x4 + 4x5) + (2x1 - 3x2 + 4x3 - x4 + x5) = -1 + 2 çãçã
Simplificando:
0x1 + 0x2 + 3x3 - 3x4 + 5x5 = 1 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora, temos um sistema reduzido com as Equações 4 e 5:
-5x3 - 3x4 = 3 3x3 - 3x4 + 5x5 = 1
Vamos resolver a Equação 4 para x3 :
-5x3 = 3 + 3x4 Rightarrow x3 = -35 - 35x4

Passo 7

Substituímos o valor de x3 encontrado na Equação 5:
3(-35 - 35x4) - 3x4 + 5x5 = 1
Simplificando:
-95 - 95x4 - 3x4 + 5x5 = 1
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
-9 - 9x4 - 15x4 + 25x5 = 5
Juntando os termos semelhantes:
-9 - 24x4 + 25x5 = 5
Isolando os termos com x4 e x5 :
-24x4 + 25x5 = 14 (Equação 6) çã

Passo 8

Agora, temos duas equações com duas variáveis ([x_4) e ):
Podemos resolver a Equação 6 para . Vamos resolver para :

Passo 9

Agora, temos expressões para x3 e x4 em termos de x5 . Vamos escolher x5 como uma variável livre, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a x5 e encontrar os correspondentes valores das outras variáveis.
Vamos chamar x5 = t , onde t pode ser qualquer número real.
Então:
x5 = t
x4 = -14 + 25t24
x3 = -35 - 35x4 = -35 - 35 ( -14 + 25t24 )
Simplificando x3 :
x3 = -35 + 42 - 75t120 = -72120 + 42 - 75t120 = -72 + 42 - 75t120 = -30 - 75t120 = -5 - 12.5t20

Passo 10

Agora que temos x3, x4 e x5 em termos de t , vamos usar a Equação 1 para encontrar x1 e x2 .
A Equação 1 é:
2x1 - 3x2 + 4x3 - x4 + x5 = 2
Substituindo x3, x4 e x5 :
2x1 - 3x2 + 4( -5 - 12.5t20 ) - ( -14 + 25t24 ) + t = 2
Simplificando os termos:
2x1 - 3x2 - 20 + 50t20 + 14 - 25t24 + t = 2
2x1 - 3x2 - 1 - 2.5t + 0.5833 - 1.0417t + t = 2
Combinando os termos semelhantes:
2x1 - 3x2 - 0.4167 - 2.5417t = 2
Isolando 2x1 - 3x2 :
2x1 - 3x2 = 2 + 0.4167 + 2.5417t Rightarrow 2x1 - 3x2 = 2.4167 + 2.5417t

Passo 11

Agora, temos uma relação entre x1 e x2 em termos de t . Vamos resolver para uma das variáveis em função da outra. Vamos resolver para x1 :
2x1 = 3x2 + 2.4167 + 2.5417t Rightarrow x1 = 3x2 + 2.4167 + 2.5417t2
Podemos escolher x2 como outra variável livre, digamos x2 = s , onde s também pode ser qualquer número real.
Então:
x2 = s
x1 = 3s + 2.4167 + 2.5417t2

Passo 12

Agora, resumindo todas as soluções em termos das variáveis livres s e t :
x1 = 3s + 2.4167 + 2.5417t2
x2 = s
x3 = -5 - 12.5t20
x4 = -14 + 25t24
x5 = t
Podemos simplificar x1 :
x1 = 3s2 + 1.20835 + 1.27085t

Resposta

As soluções do sistema são expressas em termos das variáveis livres [s) e :
Onde podem ser quaisquer números reais.

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