[06] Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno canônico. Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z) e seja W=Im(T)
(a) Encontre uma base ortonormal BO para W.
(b) O mesmo do item anterior em relação ao produto interno
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==2 x1 x2+y1 y2+4 z1 z2

Passo 1

Beleza, o exercício nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço W , que é a imagem da transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (z, x - y, -z) . Vamos utilizar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares e produtos internos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para W , ou seja, identificar quais vetores compõem a imagem da transformação T . Para isso, aplicamos T aos vetores da base canônica de R^3 , que são (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) .

Passo 3

Aplicando T :
  • T(1,0,0) = (0, 1 - 0, 0) = (0,1,0)
  • T(0,1,0) = (0, 0 - 1, 0) = (0,-1,0)
  • T(0,0,1) = (1, 0 - 0, -1) = (1,0,-1)
Observamos que os vetores (0,1,0) e (0,-1,0) são lineares entre si, pois (0,-1,0) é apenas um múltiplo de (0,1,0) . Portanto, a imagem W é gerada pelos vetores (0,1,0) e (1,0,-1) .

Passo 4

Agora, vamos transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, normalizamos o primeiro vetor da base.
Calculando a norma de v1 = (0,1,0) :
|v1| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
u1 = (0,1,0)

Passo 5

Agora, projetamos v2 = (1,0,-1) sobre u1 e subtraímos para obter um vetor ortogonal a u1 .
A projeção de v2 em u1 é:
Proju1(v2) = lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Calculando o produto interno padrão:
lang<= v2, u1 rang<= = 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) = 0
Então,
Proju1(v2) = 0 cdot u1 = (0,0,0)
Portanto, o vetor ortogonal é:
w2 = v2 - Proju1(v2) = (1,0,-1)

Passo 6

Agora, normalizamos w2 para obter o segundo vetor ortonormalizado:
|w2| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2
Então,
u2 = (1raiz2, 0, -1raiz2)

Passo 7

Agora, o exercício pede para encontrarmos uma base ortonormal para W = Im(T) considerando um produto interno diferente, definido por:
lang<=, (x1, y1, z1),, (x2, y2, z2) ,rang<= = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2
Vamos adaptar o processo para esse novo produto interno.

Passo 8

Já sabemos que uma base para W é , v1, v2 , onde:
v1 = (0,1,0) e v2 = (1,0,-1)
Vamos agora ortonormalizar esses vetores usando o novo produto interno.

Passo 9

Primeiro, normalizamos v1 em relação ao novo produto interno.
Calculando a norma de v1 :
|v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raiz2 cdot 0^2 + 1^2 + 4 cdot 0^2 = raiz1 = 1
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
u1 = (0,1,0)

Passo 10

Agora, projetamos v2 = (1,0,-1) sobre u1 e subtraímos para obter um vetor ortogonal a u1 .
A projeção de v2 em u1 é:
Proju1(v2) = lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= cdot u1
Calculando o produto interno:
lang<= v2, u1 rang<= = 2 cdot 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 4 cdot (-1) cdot 0 = 0
Então,
Proju1(v2) = 0 cdot u1 = (0,0,0)
Portanto, o vetor ortogonal é:
w2 = v2 - Proju1(v2) = (1,0,-1)

Passo 11

Agora, normalizamos w2 em relação ao novo produto interno:
|w2| = raizlang<= w2, w2 rang<= = raiz2 cdot 1^2 + 0^2 + 4 cdot (-1)^2 = raiz2 + 0 + 4 = raiz6
Então,
u2 = (dfrac1raiz6, 0, -dfrac1raiz6)

Resposta

Uma base ortonormal para W , com respeito ao produto interno dado, é:
BO = , (0, 1, 0), (dfrac1raiz6, 0, -dfrac1raiz6) ,

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