[06] Considere o espaço vetorial
com o produto interno canônico. Seja
dada por
e seja
(a) Encontre uma base ortonormal
para
.
(b) O mesmo do item anterior em relação ao produto interno
(a) Encontre uma base ortonormal
(b) O mesmo do item anterior em relação ao produto interno
Passo 1
Beleza, o exercício nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço
, que é a imagem da transformação linear
definida por
. Vamos utilizar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares e produtos internos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para
, ou seja, identificar quais vetores compõem a imagem da transformação
. Para isso, aplicamos
aos vetores da base canônica de
, que são
,
e
.
Passo 3
Aplicando
:
Observamos que os vetores
e
são lineares entre si, pois
é apenas um múltiplo de
. Portanto, a imagem
é gerada pelos vetores
e
.
Passo 4
Agora, vamos transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, normalizamos o primeiro vetor da base.
Calculando a norma de
:
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
Passo 5
Agora, projetamos
sobre
e subtraímos para obter um vetor ortogonal a
.
A projeção de
em
é:
Calculando o produto interno padrão:
Então,
Portanto, o vetor ortogonal é:
Passo 6
Agora, normalizamos
para obter o segundo vetor ortonormalizado:
Então,
Passo 7
Agora, o exercício pede para encontrarmos uma base ortonormal para
considerando um produto interno diferente, definido por:
Vamos adaptar o processo para esse novo produto interno.
Passo 8
Já sabemos que uma base para
é
onde:
Vamos agora ortonormalizar esses vetores usando o novo produto interno.
Passo 9
Primeiro, normalizamos
em relação ao novo produto interno.
Calculando a norma de
:
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
Passo 10
Agora, projetamos
sobre
e subtraímos para obter um vetor ortogonal a
.
A projeção de
em
é:
Calculando o produto interno:
Então,
Portanto, o vetor ortogonal é:
Passo 11
Agora, normalizamos
em relação ao novo produto interno:
Então,
Resposta
Uma base ortonormal para
, com respeito ao produto interno dado, é: