03- Seja
definida por
. Com base nisso faça o que se pede:
(a) Determine A;
(b) Mostre que f é injetora;
(c) Calcule
;
(d) f é sobrejetora? Justifique.
(a) Determine A;
(b) Mostre que f é injetora;
(c) Calcule
(d) f é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
Precisamos determinar:
a) o conjunto ;
b) provar que é injetora;
c) encontrar ;
d) verificar se é sobrejetora em
.
O conteúdo envolvido é: domínio de função racional, monotonicidade/injetividade, cálculo de inversa e estudo de imagem.
a) o conjunto
b) provar que
c) encontrar
d) verificar se
O conteúdo envolvido é: domínio de função racional, monotonicidade/injetividade, cálculo de inversa e estudo de imagem.
Passo 2
Para achar
, impõe-se (i) denominador não nulo:
, e (ii) imagem em
:
Como o sinal de
muda em
, tratamos separadamente:
- Se
, então e multiplicar não inverte desigualdades. Resolvem-se
daí, para
, sobra
.
- Se
, então e ao multiplicar invertem-se desigualdades. Fazendo as contas semelhantes obtém-se .
Combinando e excluindo
, resulta
Passo 3
Para mostrar que
é injetora, basta ver que ela é estritamente monotônica. Calculamos
Como
em todo
,
é estritamente decrescente e, portanto, injetora.
Passo 4
Para encontrar a inversa, escrevemos
e resolvemos para
:
Logo,
definida para
com
.
Passo 5
Para ser sobrejetora em
precisaríamos
. Porém
e não existe
tal que
. Logo falta o valor
na imagem, de modo que
. Portanto
não é sobrejetora.
Resposta
a)
.
b) é injetora, pois
.
c) ,
,
.
d) Não é sobrejetora em , pois não atinge
.
b)
c)
d) Não é sobrejetora em