03- Seja f: A [1,10] definida por f(x)=4-11 x4-2 x. Com base nisso faça o que se pede:
(a) Determine A;
(b) Mostre que f é injetora;
(c) Calcule f^-1;
(d) f é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon A to [1,10], f(x)=4-11x4-2x
Precisamos determinar:
a) o conjunto A;
b) provar que f é injetora;
c) encontrar f^-1;
d) verificar se f é sobrejetora em [1,10].
O conteúdo envolvido é: domínio de função racional, monotonicidade/injetividade, cálculo de inversa e estudo de imagem.

Passo 2

Para achar A, impõe-se (i) denominador não nulo: 4-2xneq0Rightarrow xneq2, e (ii) imagem em [1,10]:
1 <= 4-11x4-2x<= 10
Como o sinal de 4-2x muda em x=2, tratamos separadamente:
  1. Se x<2, então 4-2x>0 e multiplicar não inverte desigualdades. Resolvem-se
1<=4-11x4-2xiff 4-11x>=4-2xiff x<=0,
4-11x4-2x<=10iff 4-11x<=40-20xiff x<=4,
daí, para x<2, sobra x<=0.
  1. Se x>2, então 4-2x<0 e ao multiplicar invertem-se desigualdades. Fazendo as contas semelhantes obtém-se x>=4.
Combinando e excluindo x=2, resulta
A = (-infty,0];cup;[4,infty)

Passo 3

Para mostrar que f é injetora, basta ver que ela é estritamente monotônica. Calculamos
f'(x) =(-11)(4-2x)-(4-11x)(-2)(4-2x)^2 =-36(4-2x)^2<0 (forall xneq2)
Como f'(x)<0 em todo A, f é estritamente decrescente e, portanto, injetora.

Passo 4

Para encontrar a inversa, escrevemos y=4-11x4-2x e resolvemos para x:
y(4-2x)=4-11x ;Longrightarrow; 4y-2yx=4-11x ;Longrightarrow; x(11-2y)=4(1-y) ;Longrightarrow; x=4(1-y)11-2y =4(y-1)2y-11
Logo,
f^-1(y)=4(y-1)2y-11,
definida para yin[1,10] com yneq112.

Passo 5

Para ser sobrejetora em [1,10] precisaríamos Im,f=[1,10]. Porém
limxtopminftyf(x)=-11x-2x=112
e não existe x tal que f(x)=11/2. Logo falta o valor y=11/2 na imagem, de modo que
Im,f=[1,10]setminustfrac112neq[1,10]. Portanto f não é sobrejetora.

Resposta

a) A=(-infty,0]cup[4,infty).
b) f é injetora, pois f'(x)=-36/(4-2x)^2<0.
c) f^-1(y)=4(y-1)2y-11, ,yin[1,10], yneq112.
d) Não é sobrejetora em [1,10], pois não atinge y=tfrac112.

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