Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
-2 <= x^2-3 x-102-x<5.

Passo 1

O enunciado pede a solução de
-2 <= x^2-3x-102-x < 5
expressa em forma de intervalo.
O conteúdo aqui é manipular desigualdades envolvendo frações racionais, checando o domínio ( xneq2) e analisando sinais de numerador e denominador. Vamos resolver em dois blocos:
1. -2 <= x^2-3x-102-x 2. x^2-3x-102-x < 5
e depois intersectar as soluções, excluindo x=2.

Passo 2

Resolvendo
-2 <= x^2-3x-102-x
Passo a juntar termos num único quociente:
-2 <= x^2-3x-102-x Long<=ftrightarrow x^2-3x-102-x + 2 >= 0
Em comum denominador 2-x fica
x^2-3x-10 + 2(2-x)2-x >= 0 Longrightarrow x^2-5x-62-x >= 0
Fatorando o numerador x^2-5x-6=(x-6)(x+1) e lembrando que 2-x=-(x-2), analisamos a expressão
(x-6)(x+1)2-x>=0
no quadro de sinais com pontos críticos x=-1,;x=2,;x=6. O resultado é
xin(-infty,,-1];cup;(2,,6]

Passo 3

Resolvendo
x^2-3x-102-x < 5
Subtraindo 5 e reunindo num só quociente:
x^2-3x-102-x -5 <0 Long<=ftrightarrow x^2-3x-10 -5(2-x)2-x <0
x^2-3x-10 -10 +5x2-x <0 Longrightarrow x^2+2x-202-x<0
O numerador x^2+2x-20 zera em x=-1pmraiz21. Críticos: x=-1-raiz21,;x=2,;x=-1+raiz21. Pelos sinais em cada intervalo, conclui-se
xinl(-1-raiz21,,2r);cup;l(-1+raiz21,,inftyr)

Passo 4

Agora intersectamos as soluções das duas desigualdades, lembrando de excluir x=2:
(-infty,-1];cup;(2,6] ;;cap;; l(-1-raiz21,2r);cup;l(-1+raiz21,inftyr)
Fazendo a intersecção em cada ramo, obtemos
l(-1-raiz21,,-1r] ;cup; l(-1+raiz21,,6r]

Resposta

boxed (-1-raiz21,,-1];cup;(-1+raiz21,,6]

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