- (Valor: 2.5) 0 potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilíndricas, é dado por
, onde
é uma constante e
. Determine o vetor campo magnético
.
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial
é:
.
Passo 1
O enunciado dá um potencial vetor magnético cujo único componente não nulo, em coordenadas cilíndricas
, é
onde
é uma constante e
. O objetivo é determinar o campo magnético
associado a esse potencial vetor. Também foi fornecida uma fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede:
- Calcular
, isto é, .
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o campo magnético
é dado pelo rotacional (curl) do potencial vetor
:
Em coordenadas cilíndricas, a forma correta do rotacional é (cada termo explicado: as derivadas parciais agem nas componentes escalares
do campo)
Observação importante: a expressão acima tem que ser usada exatamente (repare que o termo com
no componente radial é
, não
; a fórmula dada no enunciado contém um erro de digitação nesse termo). Uso a forma correta porque ela é a que garante a identidade
e coincide com o cálculo em coordenadas cartesianas.
Agora aplicamos essa fórmula com
e com as componentes listadas no Passo 1.
Passo 3
Cálculo do componente radial
.
Usamos
Aqui
, então o primeiro termo é zero. Para o segundo termo:
pois
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
. Portanto
Explicação verbal: como
é linear em
, a derivada em
tira o
e sobra
; o sinal menos vem da fórmula do rotacional.
Passo 4
Cálculo do componente azimutal
.
Usamos
Como
e
, ambas as derivadas são zero, logo
Passo 5
Cálculo do componente axial
.
Usamos
Como
, o segundo termo some. Calculamos
:
Derivando em relação a
:
Dividindo por
obtemos
Passo 6
Resumo dos componentes obtidos (em coordenadas cilíndricas):
Forma vetorial em coordenadas cilíndricas:
Transformação para componentes cartesianas (útil para visualização): usando
e
, obtemos
Pequena verificação de consistência (controle que sempre gosto de fazer): a divergência desse campo deve ser zero (identidade
). Calculando rapidamente em cilindricas:
confirmando a consistência.
Resposta
ou, equivalentemente,