1. (Valor: 2.5) 0 potencial vetor magnético de um sistema magnético, em coordenadas polares cilíndricas, é dado por A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z, onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}. Determine o vetor campo magnético \vec{B}(\vec{r}).
Dado: Circulação (ou rotacional) em coordenadas cilíndricas para o campo vetorial \vec{F} é: \vec{\nabla} \times \vec{F}=\left[\frac{1}{r} \frac{\partial F_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial r}\right] \hat{r}+\left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right] \hat{\varphi}+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r F_{\varphi}\right)}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi}\right] \hat{z}.

Passo 1

O enunciado dá um potencial vetor magnético cujo único componente não nulo, em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z), é
A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z,
onde B é uma constante e r^{2}=x^{2}+y^{2}. O objetivo é determinar o campo magnético \vec{B}(\vec{r}) associado a esse potencial vetor. Também foi fornecida uma fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A_r=0,\qquad A_{\varphi}=\frac{1}{2} B r z,\qquad A_z=0.
O que se pede:
  • Calcular \vec{B}(\vec{r}), isto é, \vec{B}=\nabla\times\vec{A}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o campo magnético \vec{B} é dado pelo rotacional (curl) do potencial vetor \vec{A}:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
Em coordenadas cilíndricas, a forma correta do rotacional é (cada termo explicado: as derivadas parciais agem nas componentes escalares F_r,F_\varphi,F_z do campo)
\nabla\times\vec{F}= \left[\frac{1}{r}\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial z}\right]\hat r + \left[\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r}\right]\hat\varphi + \frac{1}{r}\left[\frac{\partial(r F_{\varphi})}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial\varphi}\right]\hat z.
Observação importante: a expressão acima tem que ser usada exatamente (repare que o termo com F_\varphi no componente radial é -\partial F_\varphi/\partial z, não -\partial F_\varphi/\partial r; a fórmula dada no enunciado contém um erro de digitação nesse termo). Uso a forma correta porque ela é a que garante a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0 e coincide com o cálculo em coordenadas cartesianas.
Agora aplicamos essa fórmula com \vec{F}=\vec{A} e com as componentes listadas no Passo 1.

Passo 3

Cálculo do componente radial B_{r}.
Usamos
B_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}.
Aqui A_{z}=0, então o primeiro termo é zero. Para o segundo termo:
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{2} B r z\right)=\frac{1}{2} B r,
pois r e B são tratados como constantes quando derivamos em relação a z. Portanto
B_{r}=0-\frac{1}{2}B r=-\frac{1}{2}B r.
Explicação verbal: como A_{\varphi} é linear em z, a derivada em z tira o z e sobra \tfrac12 B r; o sinal menos vem da fórmula do rotacional.

Passo 4

Cálculo do componente azimutal B_{\varphi}.
Usamos
B_{\varphi}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r}.
Como A_{r}=0 e A_{z}=0, ambas as derivadas são zero, logo
B_{\varphi}=0.

Passo 5

Cálculo do componente axial B_{z}.
Usamos
B_{z}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial(r A_{\varphi})}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}\right].
Como A_{r}=0, o segundo termo some. Calculamos rA_{\varphi}:
rA_{\varphi}=r\cdot\frac{1}{2}B r z=\frac{1}{2}B r^{2} z.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}B r^{2} z\right)=\frac{1}{2}B\cdot 2 r z = B r z.
Dividindo por r obtemos
B_{z}=\frac{1}{r}(B r z)=B z.

Passo 6

Resumo dos componentes obtidos (em coordenadas cilíndricas):
B_{r}=-\frac{1}{2}B r,\qquad B_{\varphi}=0,\qquad B_{z}=B z.
Forma vetorial em coordenadas cilíndricas:
\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B r\,\hat r + 0\cdot\hat\varphi + B z\,\hat z.
Transformação para componentes cartesianas (útil para visualização): usando \hat r=\cos\varphi\,\hat i+\sin\varphi\,\hat j e x=r\cos\varphi,\; y=r\sin\varphi, obtemos
\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B x\,\hat i -\frac{1}{2}B y\,\hat j + B z\,\hat k.
Pequena verificação de consistência (controle que sempre gosto de fazer): a divergência desse campo deve ser zero (identidade \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0). Calculando rapidamente em cilindricas:
\nabla\cdot\vec{B}=\frac{1}{r}\frac{\partial(r B_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial B_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial B_z}{\partial z} =\frac{1}{r}\frac{\partial\big(r(-\tfrac12 B r)\big)}{\partial r}+0+\frac{\partial(Bz)}{\partial z} =\frac{1}{r}\frac{\partial(-\tfrac12 B r^{2})}{\partial r}+B =\frac{1}{r}(-B r)+B=0,
confirmando a consistência.

Resposta

\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B\,r\,\hat r + B\,z\,\hat z
ou, equivalentemente,
\vec{B}(\vec{r})=-\frac{1}{2}B x\,\hat i -\frac{1}{2}B y\,\hat j + B z\,\hat k.

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