Mostre que as funções:
;
satisfazem a equação de Lanlace,
.
satisfazem a equação de Lanlace,
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação de Laplace
O conteúdo usado aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem. Defina
então
com
. Usando a regra da cadeia e
,
, temos
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez para obter as segundas derivadas. Como
é constante em
,
Como
é constante em
,
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Isso mostra que
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz