Mostre que as funções:
u=f(x, y)=arctg(y / x);
satisfazem a equação de Lanlace, ux x+uy y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
u(x,y)=arctg!l(tfracyxr)
satisfaz a equação de Laplace
uxx+uyy=0
O conteúdo usado aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem. Defina
t=yx,
então
u(x,y)=arctg(t),
com arctg'(t)=11+t^2. Usando a regra da cadeia e ty=1/x, tx=-y/x^2, temos
ux = 11+t^2,l(-tfracyx^2r) = -y/x^21+(y/x)^2 = -yx^2+y^2,
uy = 11+t^2,l(tfrac1xr) = 1/x1+(y/x)^2 = xx^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para obter as segundas derivadas. Como y é constante em ux,
uxx = partialpartial xl(-yx^2+y^2r) = -ycdotl(-2x(x^2+y^2)^2r) = 2xy(x^2+y^2)^2
Como x é constante em uy,
uyy = partialpartial yl(xx^2+y^2r) = xcdotl(-2y(x^2+y^2)^2r) = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
uxx+uyy = 2xy(x^2+y^2)^2 ;+; l(-2xy(x^2+y^2)^2r) = 0
Isso mostra que u satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função
u(x,y)=arctg!l(tfracyxr)
satisfaz
uxx+uyy=0

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