O. 04 ( 1,25 ponto por item) Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso da regra da função composta. Verifíqu resultado realizando a substituição.
ii) y=f(x)=x^22 , onde x=-2^w e w=2 z

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos pede para calcular as derivadas da função composta y = f(x) = x^22 , onde x = -2^w e w = 2z . A matéria que vamos usar aqui é derivação de funções compostas, mais especificamente a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a x . A função é y = x^22 . Usando a regra básica de derivação, sabemos que:
dydx = ddx(x^22) = 2x2 = x

Passo 3

Agora, precisamos derivar x em relação a w . Sabemos que x = -2^w . Para derivar essa função, lembramos que a derivada de a^w em relação a w é a^w ln(a) . Então:
dxdw = ddw(-2^w) = -2^w ln(2)

Passo 4

Em seguida, derivamos w em relação a z . Sabemos que w = 2z , então:
dwdz = ddz(2z) = 2

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de y em relação a z :
dydz = dydx times dxdw times dwdz
Substituindo as derivadas que calculamos:
dydz = x times (-2^w ln(2)) times 2

Passo 6

Vamos substituir x e w pelas suas expressões em termos de z . Sabemos que w = 2z e x = -2^w = -2^2z . Então:
dydz = (-2^2z) times (-2^2z ln(2)) times 2 = 2^2z times 2^2z times ln(2) times 2 = 2^4z times 2 ln(2) = 2^4z+1 ln(2)

Resposta

A derivada de y em relação a z é:
dydz = 2^4z+1 ln(2)

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