O. 04 ( 1,25 ponto por item) Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso da regra da função composta. Verifíqu resultado realizando a substituição.
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos pede para calcular as derivadas da função composta
, onde
e
. A matéria que vamos usar aqui é derivação de funções compostas, mais especificamente a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função é
. Usando a regra básica de derivação, sabemos que:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Sabemos que
. Para derivar essa função, lembramos que a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
. Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Vamos substituir
e
pelas suas expressões em termos de
. Sabemos que
e
. Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: