A região delimitada pela curva
e pelas retas
e
é rotacionada em torno do eixo x , descrevendo um sólido de revolução
. Escreva a integral para o cálculo do volume do sólido
:
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva
e pelas retas
e
. A ideia é girar essa região em torno do eixo x para formar um sólido de revolução chamado
. Nosso objetivo é escrever a integral que calcula o volume desse sólido de duas maneiras diferentes:
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são seções transversais. Imagine que você corta o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação (no caso, o eixo x) e olha para a área dessa fatia. Para calcular o volume usando seções transversais, a gente precisa encontrar a área dessa fatia em função de x e integrar ao longo do intervalo de x.
Passo 3
A curva que delimita a região é
, e estamos girando em torno do eixo x. Quando giramos essa curva, cada ponto gera um círculo com raio
. A área dessa seção transversal é a área de um círculo com raio
, que é
.
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, a gente integra essa área desde
até
. Então, a integral para o volume usando seções transversais fica:
Passo 5
Agora vamos para a segunda parte: usar cascas cilíndricas. Nesse método, em vez de cortar o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação, a gente considera cilindros finos que envolvem o eixo x. Cada casca tem uma altura, uma circunferência e uma espessura.
Passo 6
A altura da casca corresponde à função
, a circunferência é
, e a espessura é um pequeno incremento em y, que vamos denominar
. Mas para integrar em relação a y, precisamos expressar x em função de y. Como
, temos
.
Passo 7
Então, a volume de cada casca cilíndrica é dado por:
Passo 8
Para encontrar o volume total usando cascas cilíndricas, vamos integrar desde
até
(já que quando
,
):
Resposta
a. Usando seções transversais:
b. Usando cascas cilíndricas: