A região delimitada pela curva y=x^2 e pelas retas y=0 e x=2 é rotacionada em torno do eixo x , descrevendo um sólido de revolução S. Escreva a integral para o cálculo do volume do sólido S :
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva y = x^2 e pelas retas y = 0 e x = 2 . A ideia é girar essa região em torno do eixo x para formar um sólido de revolução chamado S . Nosso objetivo é escrever a integral que calcula o volume desse sólido de duas maneiras diferentes:
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são seções transversais. Imagine que você corta o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação (no caso, o eixo x) e olha para a área dessa fatia. Para calcular o volume usando seções transversais, a gente precisa encontrar a área dessa fatia em função de x e integrar ao longo do intervalo de x.

Passo 3

A curva que delimita a região é y = x^2 , e estamos girando em torno do eixo x. Quando giramos essa curva, cada ponto gera um círculo com raio y = x^2 . A área dessa seção transversal é a área de um círculo com raio x^2 , que é pi (x^2)^2 = pi x^4 .

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, a gente integra essa área desde x = 0 até x = 2 . Então, a integral para o volume usando seções transversais fica:
V = integral0^2 pi x^4 , dx

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte: usar cascas cilíndricas. Nesse método, em vez de cortar o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação, a gente considera cilindros finos que envolvem o eixo x. Cada casca tem uma altura, uma circunferência e uma espessura.

Passo 6

A altura da casca corresponde à função y = x^2 , a circunferência é 2pi y , e a espessura é um pequeno incremento em y, que vamos denominar dy . Mas para integrar em relação a y, precisamos expressar x em função de y. Como y = x^2 , temos x = raizy .

Passo 7

Então, a volume de cada casca cilíndrica é dado por:
Volume da casca = 2pi y cdot x cdot dy = 2pi y cdot raizy cdot dy = 2pi y^3/2 , dy

Passo 8

Para encontrar o volume total usando cascas cilíndricas, vamos integrar desde y = 0 até y = 4 (já que quando x = 2 , y = 2^2 = 4 ):
V = integral0^4 2pi y^3/2 , dy

Resposta

a. Usando seções transversais:
V = integral0^2 pi x^4 , dx
b. Usando cascas cilíndricas:
V = integral0^4 2pi y^3/2 , dy

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