Dê exemplo de uma função
de duas variáveis onde
mas
não é constante.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função
tal que as derivadas parciais em
sejam
porém
não seja constante. Vamos escolher uma função simples com ponto crítico em
.
Passo 2
Definimos
Essa função é suave (infinitamente diferenciável) e tem um mínimo em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Em particular, em
temos
Passo 4
Para ver que
não é constante, basta notar valores distintos em dois pontos, por exemplo
Logo,
varia e não é constante.
Resposta
Um exemplo é
pois
,
mas
não é constante.