Dê exemplo de uma função f de duas variáveis onde fx(x, y)=0=fy(0,0) mas f não é constante.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon R^2toR tal que as derivadas parciais em (0,0) sejam
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0,
porém f não seja constante. Vamos escolher uma função simples com ponto crítico em (0,0).

Passo 2

Definimos
f(x,y) = x^2 + y^2
Essa função é suave (infinitamente diferenciável) e tem um mínimo em (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y) = partialpartial x(x^2+y^2)=2x, fy(x,y) = partialpartial y(x^2+y^2)=2y
Em particular, em (0,0) temos
fx(0,0)=2cdot0=0, fy(0,0)=2cdot0=0

Passo 4

Para ver que f não é constante, basta notar valores distintos em dois pontos, por exemplo
f(0,0)=0, f(1,0)=1^2+0^2=1neq0
Logo, f varia e não é constante.

Resposta

Um exemplo é
f(x,y)=x^2+y^2,
pois fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 mas f não é constante.

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