Seja f(x, y)=x y(x^2-y^2)x^2+y^2 com f(0,0))=0. Prove que:
f é continua em R^2.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y,l(x^2-y^2r)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em R^2. O conteúdo é continuidade de funções em R^2. Precisamos verificar:
1. continuidade em (x,y)neq(0,0), onde o denominador não se anula;
2. continuidade em (0,0), isto é, lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^2neq0 e
f(x,y)=x,y,(x^2-y^2)x^2+y^2
é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por regras usuais, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Falta a continuidade em (0,0). Devemos mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Para isso, note que para (x,y)neq(0,0)
l|f(x,y)r| =l|x,yr|,l|x^2-y^2r|x^2+y^2 <=l|x,yr|,(x^2+y^2)x^2+y^2 =l|x,yr|

Passo 4

Agora usamos a desigualdade de AM–GM ou a trivial
l|x,yr|<=x^2+y^22
Portanto,
l|f(x,y)r|<=x^2+y^22
À medida que (x,y)to(0,0), o termo x^2+y^22to0. Assim
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
o que prova a continuidade em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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