Seja f(x, y)=x y(x^2-y^2)x^2+y^2 com f(0,0))=0. Prove que:
fx, fy, fx y e fy x existem em todo ponto;

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y,(x^2 - y^2)x^2 + y^2,&(x,y)neq(0,0),[0.7em] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que as derivadas parciais fx, fy e as mistas fxy, fyx existem em todo ponto de R^2.
Conteúdo usado: definição de derivada parcial via limite e o fato de que quocientes de funções polinomiais são diferenciáveis onde o denominador não se anula.]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não-zero e cada fator em
f(x,y)=x,y,(x^2 - y^2);l/(x^2+y^2)
é diferenciável. Logo f é diferenciável em (x,y)neq(0,0) e, em particular, fx, fy, fxy e fyx existem ali.

Passo 3

Calcular fx(0,0) pela definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Passo 4

Calcular fy(0,0) de modo análogo:
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0

Passo 5

Para yneq0,
fx(0,y) =limhto0f(h,y)-f(0,y)h =limhto0 h,y,h^2-y^2h^2+y^2h =ylimhto0h^2-y^2h^2+y^2 =-,y

Passo 6

Agora
fxy(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0(-k)-0k =-1,
logo fxy(0,0) existe e vale -1.

Passo 7

Para xneq0,
fy(x,0) =limkto0f(x,k)-f(x,0)k =limkto0 x,k,x^2-k^2x^2+k^2k =xlimkto0x^2-k^2x^2+k^2 =,x

Passo 8

Finalmente
fyx(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto0h-0h =1,
logo fyx(0,0) existe e vale 1.

Resposta

Em todo ponto de R^2 existem as derivadas parciais fx, fy e as mistas fxy, fyx.
Em particular, no ponto (0,0) temos
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, fxy(0,0)=-1, fyx(0,0)=1

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