04)(q.606/p.233) Determine a área lateral de um cone cujo raio da base mede 5 cm , sendo 60^{\circ} \mathrm{o} ângulo que a geratriz forma com a base do cone.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de um cone com raio da base r=5 cm, sabendo que o ângulo entre a geratriz e o plano da base vale 60^\circ. O conteúdo aqui envolve:
– a fórmula da área lateral de um cone,
– a definição do ângulo entre a geratriz e o plano da base,
– trigonometria para relacionar raio e geratriz.

Passo 2

Chamando de g o comprimento da geratriz (ou “slant height”), a área lateral A_L é dada por
A_L = \pi\,r\,g.
Para encontrar g, usamos o fato de que o ângulo \alpha entre a geratriz e o plano da base satisfaz
\cos(\alpha) = \frac{\text{projeção horizontal de }g}{g}.çã
A projeção horizontal de g é justamente o raio r. Logo,
\cos(60^\circ)=\frac{r}{g}.

Passo 3

Substituindo r=5 cm e \cos(60^\circ)=\tfrac12, temos
\tfrac12 = \frac{5}{g} \quad\Longrightarrow\quad g = \frac{5}{\tfrac12} = 10\text{ cm}.

Passo 4

Agora que sabemos g=10 cm, voltamos à fórmula da área lateral:
A_L = \pi \times 5 \times 10 = 50\pi\text{ cm}^2.

Resposta

50\pi\text{ cm}^2

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