Demonstre que o volume de um cone é igual ao produto da sua área lateral pela terça parte da distância do centro de sua base à geratriz do cone.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num cone, o volume
é igual ao produto da área lateral
pela terça parte da distância
do centro da base até uma geratriz. Vamos usar as fórmulas de volume de cone, de área lateral de cone e a geometria de triângulo retângulo para encontrar
.
Passo 2
Lembrando a fórmula do volume de um cone de base de raio
e altura
:
Passo 3
A área lateral desse mesmo cone é dada por
onde
é o comprimento da geratriz.
Passo 4
Seja
o centro da base,
o vértice do cone e
um ponto qualquer na circunferência da base tal que
seja uma geratriz. No triângulo
temos
e o ângulo em
é reto (altura é perpendicular ao plano da base). A distância
de
até a reta
é, nesse triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa, cujo valor é
Passo 5
Agora basta calcular
confirmando a igualdade desejada.