Demonstre que o volume de um cone é igual ao produto da sua área lateral pela terça parte da distância do centro de sua base à geratriz do cone.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num cone, o volume V é igual ao produto da área lateral A_{\mathrm{lat}} pela terça parte da distância d do centro da base até uma geratriz. Vamos usar as fórmulas de volume de cone, de área lateral de cone e a geometria de triângulo retângulo para encontrar d.

Passo 2

Lembrando a fórmula do volume de um cone de base de raio R e altura h:
V = \frac{\pi R^2\,h}{3}.

Passo 3

A área lateral desse mesmo cone é dada por
A_{\mathrm{lat}} = \pi R\,s,
onde s é o comprimento da geratriz.

Passo 4

Seja O o centro da base, A o vértice do cone e B um ponto qualquer na circunferência da base tal que AB seja uma geratriz. No triângulo AOB temos
OA = h,\quad OB = R,\quad AB = s
e o ângulo em O é reto (altura é perpendicular ao plano da base). A distância d de O até a reta AB é, nesse triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa, cujo valor é
d = \frac{OA \cdot OB}{AB} = \frac{h\,R}{s}.

Passo 5

Agora basta calcular
\frac{1}{3}\,A_{\mathrm{lat}}\,d = \frac{1}{3}\,\bigl(\pi R\,s\bigr)\,\frac{h\,R}{s} = \frac{\pi R^2\,h}{3} = V,
confirmando a igualdade desejada.

Resposta

V = \tfrac{1}{3}\,A_{\mathrm{lat}}\,d.

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