07)(q.655/p.239) Um cone circular tem raio 2 m e altura 4 m . Qual é a área da seção transversal, feita por um plano, distante 1 m do seu vértice?

Passo 1

O enunciado diz que temos um cone circular de altura \,4,m e raio da base \,2,m. Queremos a área da seção feita por um plano paralelo à base e que está a \,1,m do vértice do cone. O conteúdo aqui envolve semelhança de triângulos para encontrar o raio da seção e depois calcular a área de um círculo.

Passo 2

Como o plano é paralelo à base, a seção é um círculo cujo raio é proporcional à distância do vértice por semelhança de triângulos. Se traçarmos um triângulo que vai do vértice até a circunferência da base, a razão entre qualquer segmento paralelo à base e o raio da base é igual à razão entre a distância desse segmento ao vértice e a altura total.

Passo 3

Pela semelhança, o raio r da seção a \,1,m do vértice satisfaz
\frac{r}{2} \;=\;\frac{1}{4},
pois 2 é o raio na distância 4 do vértice. Isolando r na proporção, vem
r = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\\ \text{m}.

Passo 4

A área A da seção circular é
A = \pi\,r^{2} = \pi \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = \frac{\pi}{4}\\ \text{m}^{2}.

Resposta

A área da seção é \displaystyle \frac{\pi}{4}\\ \text{m}^{2}.

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