O comprimento ell, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensöes são ell=1 me w=h=2 m, ell e estlo aumentando em uma taxa de 2 m / s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 m / s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades eståo variando.
(a) O volume
(b) A área da superficie
(c) O comprimento da diagonal

Passo 1

O enunciado diz que a caixa tem comprimento ell, largura w e altura h variando no tempo, com no instante considerado
ell=1,m, w=2,m, h=2,m,
dfracdelldt=dfracdwdt=2,m/s e dfracdhdt=-3,m/s.
Vamos usar regras de derivação para funções de várias variáveis (regra do produto e cadeia) para achar
dfracdVdt, dfracdSdt e dfracdddt.

Passo 2

Volume:
V=ell,w,h
Aplicando a regra do produto aos três fatores,
dfracdVdt =dfracdelldt,w,h+ell,dfracdwdt,h+ell,w,dfracdhdt
Substituindo os valores:
dfracdVdt =(2)(2)(2)+(1)(2)(2)+(1)(2)(-3) =8+4-6=6
Logo dfracdVdt=6,m^3/s

Passo 3

Área de superfície (total das seis faces):
S=2l(ell w+ell h+w hr)
Derivando,
dfracdSdt =2l(dfracddt(ell w)+dfracddt(ell h)+dfracddt(w h)r)
Cada derivada interna usa produto:
dfracddt(ell w)=ell',w+ell,w'=2cdot2+1cdot2=6,
dfracddt(ell h)=ell',h+ell,h'=2cdot2+1cdot(-3)=1,
dfracddt(w h)=w',h+w,h'=2cdot2+2cdot(-3)=-2.
Somando e multiplicando por 2:
dfracdSdt=2,(6+1-2)=2cdot5=10
Logo dfracdSdt=10,m^2/s

Passo 4

Diagonal interna:
d=raizell^2+w^2+h^2
Derivando pela regra da cadeia,
dfracdddt =12raizell^2+w^2+h^2;2l(ell,ell'+w,w'+h,h'r) =ell,ell'+w,w'+h,h'd
No instante dado:
ell,ell'+w,w'+h,h'=1cdot2+2cdot2+2cdot(-3)=2+4-6=0,
portanto dfracdddt=0

Resposta

(a) dfracdVdt=6,m^3/s
(b) dfracdSdt=10,m^2/s
(c) dfracdddt=0,m/s

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