O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensöes são
,
e estlo aumentando em uma taxa de
enquanto
está decrescendo em uma taxa de
. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades eståo variando.
(a) O volume
(b) A área da superficie
(c) O comprimento da diagonal
(a) O volume
(b) A área da superficie
(c) O comprimento da diagonal
Passo 1
O enunciado diz que a caixa tem comprimento
, largura
e altura
variando no tempo, com no instante considerado
,
,
,
e
.
Vamos usar regras de derivação para funções de várias variáveis (regra do produto e cadeia) para achar
,
e
.
Vamos usar regras de derivação para funções de várias variáveis (regra do produto e cadeia) para achar
Passo 2
Volume:
Aplicando a regra do produto aos três fatores,
Substituindo os valores:
Logo
Passo 3
Área de superfície (total das seis faces):
Derivando,
Cada derivada interna usa produto:
,
,
.
Somando e multiplicando por 2:
Somando e multiplicando por 2:
Logo
Passo 4
Diagonal interna:
Derivando pela regra da cadeia,
No instante dado:
,
portanto
portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)