(04) Considere a Terra como um condutor esférico com 6.370 km de raio e inicialmente descarregada. Uma esfera de metal, com raio de 13 cm e tendo uma carga de
, é aterrada, isto é, posta em contato elétrico com a Terra. Mostre que este processo efetivamente descarrega a esfera calculando a fração do excesso de elétrons originalmente presentes na esfera e que permanecem depois que ela foi aterrada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao aterrar uma esfera metálica carregada, ela quase se descarrega. A ideia é tratar a esfera de raio
,m e a Terra de raio
,m como dois condutores isolados que, ao serem postos em contato, ficam no mesmo potencial. Vamos usar o conceito de capacitância de uma esfera isolada e a conservação de carga para achar a fração da carga (ou dos elétrons) que permanece na esfera após o aterramento.
Passo 2
A capacitância de uma esfera isolada de raio
em relação ao infinito é
Assim, para a esfera pequena
e para a Terra
Passo 3
Quando dois condutores são ligados, eles alcançam o mesmo potencial
e compartilham a carga total
na proporção de suas capacitâncias:
em que
é a carga final da esfera e
,C é a carga inicial.
Passo 4
Como
, podemos aproximar
Passo 5
Substituindo
,m e
,m, a fração de carga que fica na esfera é
Passo 6
Como cada elétron tem carga elementar
, a fração de elétrons que permanece é exatamente essa razão de cargas, ou seja, cerca de
dos elétrons originalmente presentes. Isso equivale a menos de 0,000002 %, ou seja, praticamente zero.
Resposta
A fração de elétrons que permanece na esfera após o aterramento é aproximadamente
.