(04) Considere a Terra como um condutor esférico com 6.370 km de raio e inicialmente descarregada. Uma esfera de metal, com raio de 13 cm e tendo uma carga de -6,2 \mathrm{nC}, é aterrada, isto é, posta em contato elétrico com a Terra. Mostre que este processo efetivamente descarrega a esfera calculando a fração do excesso de elétrons originalmente presentes na esfera e que permanecem depois que ela foi aterrada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao aterrar uma esfera metálica carregada, ela quase se descarrega. A ideia é tratar a esfera de raio r_s=0,13,m e a Terra de raio R_E=6{,}37\times10^6,m como dois condutores isolados que, ao serem postos em contato, ficam no mesmo potencial. Vamos usar o conceito de capacitância de uma esfera isolada e a conservação de carga para achar a fração da carga (ou dos elétrons) que permanece na esfera após o aterramento.

Passo 2

A capacitância de uma esfera isolada de raio r em relação ao infinito é
C = 4\pi \varepsilon_0\,r.
Assim, para a esfera pequena
C_s = 4\pi \varepsilon_0\,r_s,
e para a Terra
C_E = 4\pi \varepsilon_0\,R_E.

Passo 3

Quando dois condutores são ligados, eles alcançam o mesmo potencial V e compartilham a carga total Q_i na proporção de suas capacitâncias:
Q_s^{\text{(f)}} = \frac{C_s}{C_s + C_E}\;Q_i,
em que Q_s^{\text{(f)}} é a carga final da esfera e Q_i=-6{,}2\times10^{-9},C é a carga inicial.

Passo 4

Como C_s\ll C_E, podemos aproximar
\frac{C_s}{C_s + C_E}\approx \frac{C_s}{C_E} =\frac{4\pi\varepsilon_0\,r_s}{4\pi\varepsilon_0\,R_E} =\frac{r_s}{R_E}.

Passo 5

Substituindo r_s=0{,}13,m e R_E=6{,}37\times10^6,m, a fração de carga que fica na esfera é
\frac{Q_s^{\text{(f)}}}{Q_i}\approx \frac{r_s}{R_E} =\frac{0{,}13}{6{,}37\times10^6} \approx 2{,}0\times10^{-8}.

Passo 6

Como cada elétron tem carga elementar e, a fração de elétrons que permanece é exatamente essa razão de cargas, ou seja, cerca de
2{,}0\times10^{-8}
dos elétrons originalmente presentes. Isso equivale a menos de 0,000002 %, ou seja, praticamente zero.

Resposta

A fração de elétrons que permanece na esfera após o aterramento é aproximadamente 2,0\times10^{-8}.

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