(08) Um anel uniformemente carregado, com carga Q e raio a, está no plano yz com eixo sobre o eixo dos x . Uma carga puntiforme Q ’ está sobre o eixo dos x em \mathrm{x}=2 \mathrm{a}. (a) Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço. (b) Determinar o campo elétrico no eixo dos x destas duas cargas.

Passo 1

O enunciado trata de duas distribuições de carga:
– Um anel de raio a, carregado uniformemente com carga total Q, está no plano yz e centrado na origem, ou seja, seus pontos estão em (0,a\cos\varphi,a\sin\varphi) para \varphi\in[0,2\pi).
– Uma carga puntiforme Q' está no ponto (2a,0,0).
O objetivo é usar superposição de potenciais eletrostáticos para (a) obter o potencial elétrico V(\mathbf r) em qualquer ponto \mathbf r=(x,y,z) e em seguida (b) calcular o campo elétrico ao longo do eixo x, onde y=z=0.

Passo 2

Potencial devido ao anel carregado.
A densidade linear do anel é
\lambda = \frac{Q}{2\pi a}.
Em um ponto genérico \mathbf r=(x,y,z), a distância de um elemento de carga dq=\lambda\,a\,d\varphi situado em (0,a\cos\varphi,a\sin\varphi) é
R(\varphi)=\sqrt{(x-0)^2 + \bigl(y - a\cos\varphi\bigr)^2 + \bigl(z - a\sin\varphi\bigr)^2}.
Pelo princípio da superposição,
V_{\rm anel}(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\rm anel}\frac{dq}{R} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,a\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{R(\varphi)} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{\sqrt{x^2+y^2+z^2 + a^2 -2a\bigl(y\cos\varphi+z\sin\varphi\bigr)}}.

Passo 3

Potencial devido à carga puntiforme Q' em (2a,0,0).
A distância de \mathbf r=(x,y,z) a (2a,0,0) é
r'=\sqrt{(x-2a)^2 + y^2 + z^2},
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V_{Q'}(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q'}{r'} =\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0\,\sqrt{(x-2a)^2+y^2+z^2}}.

Passo 4

Potencial total por superposição.
V(\mathbf r) =V_{\rm anel}(\mathbf r)+V_{Q'}(\mathbf r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi} {\sqrt{x^2+y^2+z^2 + a^2 -2a\bigl(y\cos\varphi+z\sin\varphi\bigr)}} +\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0\,\sqrt{(x-2a)^2+y^2+z^2}}.

Passo 5

Campo elétrico no eixo x.
No eixo x temos y=z=0. Então
V(x)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} +\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0\,|x-2a|}.
O campo é \displaystyle E_x(x)=-\frac{dV}{dx}. Calculando:
-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{Q}{\sqrt{x^2+a^2}}\Bigr) =\frac{Q\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}, \quad -\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{Q'}{|x-2a|}\Bigr) =\frac{Q'\,\sgn(x-2a)}{(x-2a)^2}.
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E_x(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{Q\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}} +\frac{Q'\,\sgn(x-2a)}{(x-2a)^2}\Bigr],
e o vetor campo é \mathbf E(x)=E_x(x)\,\hat{\mathbf x}.

Resposta

(a)
V(\mathbf r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{d\varphi}{\sqrt{x^2+y^2+z^2 + a^2 -2a\bigl(y\cos\varphi+z\sin\varphi\bigr)}} +\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0\,\sqrt{(x-2a)^2+y^2+z^2}}.
(b)
No eixo x y=z=0,
E_x(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{Q\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}} +\frac{Q'\,\sgn(x-2a)}{(x-2a)^2}\Bigr], \quad \mathbf E(x)=E_x(x)\,\hat{\mathbf x}.

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