A fórmula empírica abaixo (proposta por Robert Manning), representa a velocidade média ( V ) em um canal aberto com escoamento uniforme, devido à ação da gravidade, estando no Sistema Inglês (BG):
V=\frac{1,49}{n} \cdot R^{2 / 3} \cdot S^{1 / 2}
Onde: R= raio hidráulico do canal; S= declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); n= fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) Reescreva a equação na forma do SI.
Resp.: (a) A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação.
(b) No sistema S.I.: V=\frac{1,0}{n} \cdot R^{2 / 3} \cdot S^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula empírica de Manning no sistema Inglês (BG):
V = \frac{1,49}{n}\;R^{2/3}\;S^{1/2}
onde V é a velocidade média, R é o raio hidráulico, S é a declividade (adimensional) e n é o fator de rugosidade (tratado aqui como adimensional). Precisamos (a) checar se a fórmula é dimensionalmente consistente e (b) reescrevê-la na forma do Sistema Internacional (SI).

Passo 2

Analisando as dimensões:
\,[V]=\mathrm{L\,T^{-1}}.
\,[R]=\mathrm{L}.
\,[S]=1 (adimensional).
\,[n]=1 (supondo adimensional).
Logo,
\Bigl[R^{2/3}S^{1/2}\Bigr] = \mathrm{L^{2/3}}\times1 = \mathrm{L^{2/3}}\,.
Então o lado direito tem dimensão \,[\tfrac{1,49}{n}R^{2/3}S^{1/2}]=\mathrm{L^{2/3}},
que não coincide com \mathrm{L\,T^{-1}}.

Passo 3

Conclusão da parte (a): a fórmula, na forma em que 1,49 e n são considerados adimensionais, não é dimensionalmente consistente.

Passo 4

Para passar ao SI (onde se usa metros e segundos) o coeficiente empírico ajusta-se de 1,49 para 1,0. Assim, com \,[V]=\mathrm{m/s}, \,[R]=\mathrm{m}, \,[S]=1 e n com dimensão \mathrm{s\,m^{-1/3}}, a equação fica:
V = \frac{1,0}{n}\;R^{2/3}\;S^{1/2}\,.

Resposta

(a) A fórmula, tal como dada com 1,49 adimensional, não é dimensionalmente consistente.
(b) No SI:
V = \frac{1,0}{n}\;R^{2/3}\;S^{1/2}\,.

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