A fórmula empírica abaixo (proposta por Robert Manning), representa a velocidade média (
) em um canal aberto com escoamento uniforme, devido à ação da gravidade, estando no Sistema Inglês (BG):
Onde:
raio hidráulico do canal;
declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal);
fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) Reescreva a equação na forma do SI.
Resp.: (a) A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação.
(b) No sistema S.I.:
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) Reescreva a equação na forma do SI.
(b) No sistema S.I.:
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula empírica de Manning no sistema Inglês (BG):
onde
é a velocidade média,
é o raio hidráulico,
é a declividade (adimensional) e
é o fator de rugosidade (tratado aqui como adimensional). Precisamos (a) checar se a fórmula é dimensionalmente consistente e (b) reescrevê-la na forma do Sistema Internacional (SI).
Passo 2
Analisando as dimensões:
– .
– .
– (adimensional).
– (supondo adimensional).
Logo,
–
–
–
–
Logo,
Então o lado direito tem dimensão
,
que não coincide com .
que não coincide com
Passo 3
Conclusão da parte (a): a fórmula, na forma em que
e
são considerados adimensionais, não é dimensionalmente consistente.
Passo 4
Para passar ao SI (onde se usa metros e segundos) o coeficiente empírico ajusta-se de
para
. Assim, com
,
,
e
com dimensão
, a equação fica:
Resposta
(a) A fórmula, tal como dada com
adimensional, não é dimensionalmente consistente.
(b) No SI:
(b) No SI: