17A. 1 Determinação da difusividade binária a baixas densidades. Determine o valor de mathscr{Q}_{A B} para o sistema metanoetano a 193 Ke 1 atm pelos seguintes métodos:
A relação de Chapman-Enskog (Eq. 17.3-12) com os parâmetros de Lennard-Jones que aparecem no Apêndice E.

Passo 1

O enunciado pede a difusividade binária \mathscr{Q}_{AB} (também chamada de coeficiente de difusão D_{AB}) para o par metano–etano a T=193\\ \mathrm{K} e p=1\\ \mathrm{atm}, usando a fórmula de Chapman–Enskog (Eq. 17.3-12) e os parâmetros de Lennard-Jones do Apêndice E. Para isso precisamos:
  1. Parâmetros puros \sigma_A,\sigma_B e \varepsilon_A/k,\varepsilon_B/k.
  2. Regras de combinação para \sigma_{AB} e \varepsilon_{AB}/k.
  3. Temperatura reduzida T^*=T/(\varepsilon_{AB}/k) e o colisor integral \Omega_D.
  4. Substituir na relação de Chapman–Enskog para \mathscr{Q}_{AB}.

Passo 2

Parâmetros de Lennard-Jones (Apêndice E): \sigma_{\mathrm{CH_4}}=3{,}746\\ \text{\AA}, \varepsilon_{\mathrm{CH_4}}/k=148{,}6\\ \mathrm{K}; \sigma_{\mathrm{C_2H_6}}=4{,}443\\ \text{\AA}, \varepsilon_{\mathrm{C_2H_6}}/k=204{,}2\\ \mathrm{K}.
Usando as regras de Lorentz–Berthelot:
\sigma_{AB}=\frac{\sigma_A+\sigma_B}{2} =\frac{3{,}746+4{,}443}{2}=4{,}0945\\ \text{\AA},
\frac{\varepsilon_{AB}}{k} =\sqrt{\frac{\varepsilon_A}{k}\,\frac{\varepsilon_B}{k}} =\sqrt{148{,}6\times204{,}2} \approx174{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcula-se a temperatura reduzida
T^*=\frac{T}{\varepsilon_{AB}/k} =\frac{193}{174{,}2}\approx1{,}108.
Do correlograma de \Omega_D(T^*) (colisor integral para difusão) obtemos, por interpolação,
\Omega_D\bigl(T^*=1{,}108\bigr)\approx1{,}40.

Passo 4

A expressão de Chapman–Enskog (Eq. 17.3-12) em unidades práticas (cgs) é
\mathscr{Q}_{AB}\;[\mathrm{cm^2/s}] =0{,}001858\,\frac{T^{3/2}}{p\,\sigma_{AB}^2\,\Omega_D}\, \sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}},
em que T está em K, p em atm, \sigma em Å, M em g/mol.
Aqui M_A=16, M_B=30. Então
T^{3/2}=193^{1{,}5}\approx2681,\quad \sqrt{\frac1{16}+\frac1{30}}\approx0{,}3096,
\sigma_{AB}^2=(4{,}0945)^2\approx16{,}76\\ \text{\AA}^2,\quad p=1\\ \mathrm{atm},\quad \Omega_D=1{,}40.
Logo
\mathscr{Q}_{AB} =0{,}001858\;\frac{2681\;\times0{,}3096}{1\times16{,}76\times1{,}40} \approx0{,}0659\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 5

Converte-se para o SI 1\\ \mathrm{cm^2/s}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}:
\mathscr{Q}_{AB}\approx0{,}0659\times10^{-4} =6{,}59\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Resposta

\displaystyle \mathscr{Q}_{AB}\approx6{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

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