04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
(a) f(x, y)=y^7-19 x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=y^7-19,x,y
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada parcial, aplicando a regra da potência quando diferenciamos em relação a y e a regra do produto quando aparece o termo x,y.

Passo 2

Para obter partial fpartial x tratamos y como constante. A derivada de y^7 em relação a x é zero e a de -19,x,y é -19,y. Logo,
fx(x,y)=partial fpartial x=-19,y

Passo 3

Para obter partial fpartial y tratamos x como constante. A derivada de y^7 em relação a y é 7,y^6 e a de -19,x,y é -19,x. Portanto,
fy(x,y)=partial fpartial y=7,y^6-19,x

Passo 4

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
fxx(x,y)=partialpartial xl(fx(x,y)r) =partialpartial x(-19,y)=0
pois y é constante em relação a x.

Passo 5

Em seguida,
fxy(x,y)=partialpartial yl(fx(x,y)r) =partialpartial y(-19,y)=-19

Passo 6

Também calculamos
fyy(x,y)=partialpartial yl(fy(x,y)r) =partialpartial y(7,y^6-19,x) =42,y^5

Passo 7

Por fim,
fyx(x,y)=partialpartial xl(fy(x,y)r) =partialpartial x(7,y^6-19,x)=-19,
e de fato fxy=fyx=-19, conforme o teorema de Clairaut.

Resposta

fx=-19,y, fy=7,y^6-19,x,
fxx=0, fxy=fyx=-19, fyy=42,y^5

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