04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada parcial, aplicando a regra da potência quando diferenciamos em relação a
e a regra do produto quando aparece o termo
.
Passo 2
Para obter
tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é zero e a de
é
. Logo,
Passo 3
Para obter
tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
e a de
é
. Portanto,
Passo 4
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
pois
é constante em relação a
.
Passo 5
Em seguida,
Passo 6
Também calculamos
Passo 7
Por fim,
e de fato
, conforme o teorema de Clairaut.