Verifique se são convergentes:
sumn=1^+infty 1n 2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^+infty 1n2^n
O conteúdo necessário envolve testes de convergência de séries numéricas, especialmente o teste da razão, e uso de séries de potências conhecidas.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Definimos
an = 1n2^n
Calculamos
an+1an = tfrac1(n+1)2^,n+1tfrac1n2^,n = n(n+1),2 longrightarrow 12 quando ntoinfty
Como esse limite é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência simples. Logo, a série é convergente.

Passo 4

Para encontrar a soma exata, lembramos a expansão válida para |x|<1:
sumn=1^+infty x^nn = -lnl(1 - xr)
Tomando x=tfrac12, obtemos
sumn=1^+infty 1n2^n = -ln!l(1 - tfrac12r) = -lnl(tfrac12r) = ln 2

Resposta

A série converge (de forma absoluta) e sua soma é ln 2.

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