04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
(d) f(x, y)=xy

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=xy
O conteúdo envolve regras de derivação parcial, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, e depois aplicando derivação novamente para obter as segundas ordens.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y)=x,y^-1
Derivando em relação a x (com y constante):
partial fpartial x =partialpartial xl(x,y^-1r) =y^-1,
isto é,
fx=1y
Derivando em relação a y (com x constante):
partial fpartial y =partialpartial yl(x,y^-1r) =xcdot(-1),y^-2 =-xy^2,
isto é,
fy=-xy^2

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter as segundas ordens.
  1. fxx=partialpartial xl(fxr) =partialpartial xl(y^-1r)=0, pois y^-1 não depende de x.
  2. fxy=partialpartial yl(fxr) =partialpartial yl(y^-1r) =-y^-2 =-1y^2
  3. fyx=partialpartial xl(fyr) =partialpartial xl(-x,y^-2r) =-y^-2 =-1y^2
  4. fyy=partialpartial yl(fyr) =partialpartial yl(-x,y^-2r) =-xcdot(-2),y^-3 =2,xy^3
Observe que fxy=fyx, como era de se esperar por teoremas de igualdade de derivadas mistas em funções suficientemente suaves.

Resposta

fx=1y, fy=-xy^2,
fxx=0, fxy=fyx=-1y^2, fyy=2,xy^3

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