12- Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
(d) f(x, y)=raizx^2+y^2,(3,4)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=raizx^2+y^2 e pede a taxa de variação máxima de f no ponto (3,4) e a direção em que isso ocorre. O conteúdo necessário é o gradiente, pois a direção de maior crescimento de f é dada pelo vetor gradiente, e sua norma é a taxa de variação máxima.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=(x^2+y^2)^1/2, temos
partial fpartial x =12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2,
partial fpartial y =12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y =yraizx^2+y^2

Passo 3

Avaliando em (3,4), onde raiz3^2+4^2=5, o gradiente fica
nabla f(3,4) =l(35,,45r)

Passo 4

A norma desse gradiente é a taxa de variação máxima:
l|nabla f(3,4)r| =raizl(tfrac35r)^2+l(tfrac45r)^2 =raiztfrac9+1625 =raiz1 =1

Passo 5

A direção na qual isso ocorre é justamente a direção do vetor gradiente normalizado, que já é l(tfrac35,tfrac45r), pois seu módulo é 1.

Resposta

A taxa de variação máxima de f em (3,4) é 1, e ela ocorre na direção do vetor l(tfrac35,tfrac45r).

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