12- Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a taxa de variação máxima de no ponto e a direção em que isso ocorre. O conteúdo necessário é o gradiente, pois a direção de maior crescimento de é dada pelo vetor gradiente, e sua norma é a taxa de variação máxima.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de . Como , temos
Passo 3
Avaliando em , onde , o gradiente fica
Passo 4
A norma desse gradiente é a taxa de variação máxima:
Passo 5
A direção na qual isso ocorre é justamente a direção do vetor gradiente normalizado, que já é l(tfrac35,tfrac45r), pois seu módulo é 1.
Resposta
A taxa de variação máxima de f em (3,4) é 1, e ela ocorre na direção do vetor l(tfrac35,tfrac45r).