09- Utilize a regra da Cadeia para determinar d zd t nos seguintes casos:
(e) z=x^2-y^2, x=3, y=t

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = x^2 - y^2
em que x e y dependem de t segundo
x = 3, y = t
O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt ;+;partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = -2y

Passo 3

Derivamos x e y em relação a t:
dxdt = 0 (pois x=3 é constante), dydt = 1 é

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos x=3 e y=t:
dzdt = l(2xr)cdot0 ;+;l(-2yr)cdot1 = -2y = -2t

Resposta

dzdt = -2t

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