04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
(i) f(x, y, z)=e^x y z.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y,z)=e^xyz
Aqui vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e, na segunda ordem, também a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as parciais de primeira ordem aplicando a regra da cadeia: se u=xyz, então f=e^u e
partial fpartial x =e^u,partial upartial x =e^xyz,(yz), partial fpartial y =e^xyz,(xz), partial fpartial z =e^xyz,(xy)

Passo 3

Agora as derivadas puras de segunda ordem. Por exemplo,
fxx =partialpartial xl(yz,e^xyzr) =(yz),partialpartial xl(e^xyzr) =(yz)l(e^xyzcdot yzr) =(yz)^2,e^xyz
Analogamente,
fyy=(xz)^2,e^xyz, fzz=(xy)^2,e^xyz

Passo 4

Faltam as mistas. Exemplo para fxy:
fxy =partialpartial yl(yz,e^xyzr) =underbracez,e^xyzpartial(yz)/partial ycdot e^xyz +underbraceyzproduto,underbracel(e^xyzcdot xzr)partial e^xyz/partial y =z,e^xyz+xy z^2,e^xyz =zl(1+xyzr)e^xyz
Do mesmo modo,
fxz =yl(1+xyzr)e^xyz, fyz =xl(1+xyzr)e^xyz

Resposta

fx = yz,e^xyz, fy = xz,e^xyz, fz = xy,e^xyz
fxx = (yz)^2,e^xyz, fyy = (xz)^2,e^xyz, fzz = (xy)^2,e^xyz
fxy = z(1+xyz),e^xyz, fxz = y(1+xyz),e^xyz, fyz = x(1+xyz),e^xyz

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