10- Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo O
(a) f(x, y)=x^3 y^5-x^5 y^3, P(1,1), theta=pi6

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^3y^5-x^5y^3
no ponto P=(1,1) e na direção que forma o ângulo theta=pi/6 com o eixo x.
Conteúdo: derivada direcional via gradiente. Vamos precisar das derivadas parciais de f e do vetor unitário na direção de theta.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =3x^2y^5-5x^4y^3, partial fpartial y =5x^3y^4-3x^5y^2

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,1):
nabla f(1,1) =l(,3cdot1^2cdot1^5-5cdot1^4cdot1^3,; 5cdot1^3cdot1^4-3cdot1^5cdot1^2r) =(-2,;2)

Passo 4

Construir o vetor unitário na direção de theta=pi/6:
u = (costheta,;sintheta) =l(raiz32,;12r)

Passo 5

Usar a definição de derivada direcional:
Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdot u =(-2,2)cdotl(raiz32,12r) =-2cdotraiz32+2cdot12 =1-raiz3

Resposta

Duf(1,1)=1-raiz3

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