09- Utilize a regra da Cadeia para determinar d zd t nos seguintes casos:
(b) z=raiz1-x^2-y^2, x=sen t, y=sen t cost

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da Cadeia para calcular
dzdt
quando
z = raiz1 - x^2 - y^2, x = sen t, y = sen tcos t
O conteúdo envolvido é derivação de funções compostas, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y e, em seguida, as derivadas dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z. Como
z = (1 - x^2 - y^2)^1/2,
temos
partial zpartial x = 12(1 - x^2 - y^2)^-1/2cdot(-2x) = -xraiz1 - x^2 - y^2
partial zpartial y = -yraiz1 - x^2 - y^2

Passo 3

Calcular dx/dt e dy/dt. Como x = sen t,
dxdt = cos t
Como y = sen tcos t, pelo produto,
dydt = cos tcos t + sen t,(-sen t) = cos^2 t - sen^2 t

Passo 4

Aplicar a regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = -1raiz1 - x^2 - y^2l(xcos t + y(cos^2 t - sen^2 t)r)

Passo 5

Substituir x = sen t e y = sen tcos t e simplificar.
No numerador:
xcos t + y(cos^2 t - sen^2 t) = sen tcos t + sen tcos tl(cos^2 t - sen^2 tr) = sen tcos tl(1 + cos^2 t - sen^2 tr) = 2,sen t,cos^3 t
No denominador:
raiz1 - x^2 - y^2 = raiz1 - sen^2 t - sen^2 tcos^2 t = raizcos^2 t,(1 - sen^2 t) = raizcos^4 t = cos^2 t
Logo,
dzdt = -2,sen t,cos^3 tcos^2 t = -2,sen t,cos t

Resposta

dzdt = -2,sen t,cos t

Exercícios relacionados