05- Considere f(x, y, z)=x y^2 z^3+arcssen(x raizz^2+1). Escolha melhor ordem de diferenciação para calcular fy z.

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y,z)=x,y^2,z^3+arcsinl(xraizz^2+1r)
e pede a derivada mista fyz=partialpartial zl(partial fpartial yr). Vamos escolher a ordem de diferenciação que simplifique o cálculo.

Passo 2

Observamos que o segundo termo arcsinl(xraizz^2+1r) não depende de y, logo ao derivar em y esse termo some. Calculamos primeiro
fy=partialpartial yl(x,y^2,z^3r) = x,z^3,partialpartial y(y^2) =2,x,y,z^3

Passo 3

Agora derivamos fy=2,x,y,z^3 em relação a z:
fyz =partialpartial zl(2,x,y,z^3r) =2,x,y;partialpartial z(z^3) =2,x,y,(3,z^2) =6,x,y,z^2

Passo 4

Se tivéssemos começado por z, teríamos de aplicar regra da cadeia ao arcsin, o que é bem mais trabalhoso. Portanto a melhor ordem é primeiro em y e depois em z.

Resposta

A melhor ordem é
partialpartial y primeiro e depois partialpartial z,
e o resultado é
fyz(x,y,z)=6,x,y,z^2

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