Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas , .
44. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta da região sob a curva .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo a região limitada por
O método mais direto é o dos discos:
com .
Passo 2
Escrevemos
Para calcular a integral, lembramos a fórmula
Aqui , logo
Passo 3
Avaliamo de a :
em temos
e em tudo dá zero. Portanto
Passo 4
Agora queremos o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta da região sob a curva
Como o eixo de rotação é vertical mas não é o próprio eixo , usamos o método das cascas cilíndricas.
Passo 5
A casca em abscissa tem raio , altura e espessura . O volume é
Separamos em
e teremos .
Passo 6
Para , use , dando
Para I2, faça x=sintheta, dx=costheta,dtheta, e note