Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas y=9 /(x^2+9), y=0, x=0 e x=3.
44. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x=1 da região sob a curva y=x raiz1-x^2, 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada por
y = 9x^2 + 9, y=0, x=0, x=3
O método mais direto é o dos discos:
V = piintegral0^3l[f(x)r]^2dx
com f(x)=9/(x^2+9).

Passo 2

Escrevemos
V = piintegral0^381(x^2+9)^2,dx
Para calcular a integral, lembramos a fórmula
integral dx(x^2+a^2)^2 =x2a^2(x^2+a^2)+12a^3arctan!l(tfracxar)+C
Aqui a=3, logo
integral81,dx(x^2+9)^2 =81l[x18(x^2+9)+154arctan!l(tfracx3r)r]+C =92,xx^2+9+32arctan!l(tfracx3r)+C

Passo 3

Avaliamo de 0 a 3:
em x=3 temos
92cdot318+32cdotpi4 =34+3pi8,
e em x=0 tudo dá zero. Portanto
V = pil(34+3pi8r) =3pi4+3pi^28

Passo 4

Agora queremos o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=1 da região sob a curva
y = xraiz1-x^2, 0<= x<=1
Como o eixo de rotação é vertical mas não é o próprio eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas.

Passo 5

A casca em abscissa x tem raio r=1-x, altura h=xraiz1-x^2 e espessura dx. O volume é
V = 2piintegral0^1(1-x),xraiz1-x^2,dx =2piintegral0^1l(x - x^2r)raiz1-x^2,dx
Separamos em
I1=integral0^1xraiz1-x^2,dx, I2=integral0^1x^2raiz1-x^2,dx
e teremos V=2pi,(I1-I2).

Passo 6

Para I1, use u=1-x^2, dando
I1=-tfrac12integral u^1/2du=-tfrac13(1-x^2)^3/2|0^1 =tfrac13
Para I2, faça x=sintheta, dx=costheta,dtheta, e note
I2=integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta =14integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta =pi16
Logo
V=2pil(tfrac13-tfracpi16r) =2pi3-pi^28

Resposta

V=2pi3-pi^28

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