[04] Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível P que diagonaliza A.
A=[ccc1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso positivo, achar uma matriz invertível P tal que
P^-1AP = D
seja diagonal. O conteúdo envolvido é achar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -2 & -2 0 & 1-lambda & 0 0 & 2 & 3-lambda
Expandindo pela primeira coluna (que tem dois zeros) obtemos
det(A - lambda I) =(1-lambda)det 1-lambda & 0 2 & 3-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)r) =(1-lambda)^2(3-lambda)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de (1-lambda)^2(3-lambda)=0, ou seja
lambda1 = 1(mu<iplicidade 2), lambda2 = 3(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Agora achamos os autovetores de cada e conferimos a dimensão dos autespaços.
Para , resolvemos :
Temos dois graus de liberdade ( e ), logo a dimensão do autespaço é 2, igual à multiplicidade algébrica. Dois vetores independentes são
Para , resolvemos :
Um autovetor é

Passo 5

Como cada autovalor tem autespaço de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, a matriz A é diagonalizável. Podemos escolher
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & -1 & -1 ,
então
P^-1AP = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz A é diagonalizável e uma escolha de P que diagonaliza é
P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & -1 & -1 ,
pois
P^-1AP = diag(1,1,3)

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