[04] Determine se a matriz
é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível
que diagonaliza
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso positivo, achar uma matriz invertível
P tal que
seja diagonal. O conteúdo envolvido é achar autovalores e autovetores de
A .
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de
A :
Expandindo pela primeira coluna (que tem dois zeros) obtemos
Passo 3
Os autovalores são as raízes de
(1-lambda)^2(3-lambda)=0 , ou seja
Passo 4
Agora achamos os autovetores de cada
e conferimos a dimensão dos autespaços.
Para
, resolvemos
:
Temos dois graus de liberdade (
e
), logo a dimensão do autespaço é 2, igual à multiplicidade algébrica. Dois vetores independentes são
Para
, resolvemos
:
Um autovetor é
Passo 5
Como cada autovalor tem autespaço de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, a matriz
A é diagonalizável. Podemos escolher
então
Resposta
A matriz
A é diagonalizável e uma escolha de
P que diagonaliza é
pois