[04] Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível P que diagonaliza A.
A=[cc-1 & -3 2 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = -1 & -3[6pt]2 & -1
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz inversível P que a diagonalize.
Para isso vamos calcular o polinômio característico de A, achar seus autovalores, checar se são simples (distintos) e, se possível, obter autovetores linearmente independentes que formem as colunas de P.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det-1-lambda & -3[4pt]2 & -1-lambda =(-1-lambda)^2 -(-3)cdot2 =(lambda+1)^2+6 ]

Passo 3

As raízes de chiA(lambda)=0 são
(lambda+1)^2 +6=0 Longrightarrow lambda+1=pm iraiz6 Longrightarrow lambda1=-1+iraiz6, lambda2=-1-iraiz6
Como lambda1neqlambda2, os autovalores são distintos (sobre C).

Passo 4

Conclusão sobre diagonalização:
  • Sobre R, os autovalores são complexos não reais, logo não há diagonalização real.
  • Sobre C, como os autovalores são distintos, A é diagonalizável.

Passo 5

Vamos encontrar autovetores em . Para , resolvemos :
Da primeira linha , segue
Escolhendo , um autovetor correspondente a é
Para , o autovetor pode ser tomado como o conjugado de :
]

Passo 6

Formamos a matriz P cujas colunas são v1 e v2:
P= -,iraiz6 & iraiz6[4pt] 2 & 2
Então P é invertível e leva A à forma diagonal
D = P^-1 A,P =lambda1&00&lambda2 =-1+iraiz6&0[4pt]0&-1-iraiz6 ]

Resposta

A matriz A não é diagonalizável sobre R, mas é diagonalizável sobre C com
P= -,iraiz6 & iraiz6[4pt] 2 & 2 , D= -1+iraiz6 & 0[4pt] 0 & -1-iraiz6 ]

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