[07] Determine se a transformação linear é diagonalizável. Caso seja, determinar uma base que diagonaliza . com
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a transformação linear
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de transformações via autovalores e autovetores. Vamos: (1) achar a matriz de na base canônica; (2) calcular o polinômio característico e os autovalores; (3) para cada autovalor, achar a base do espaço próprio; (4) verificar se há 3 autovetores independentes e, em caso afirmativo, montar a base que diagonaliza.
Os autovalores são lambda1=0, lambda2=-1 e lambda3=2, todos distintos.
Passo 4
Para cada [\lambda) resolvemos .
:
Uma base do espaço próprio é ({(1,0,1)}].
Uma base é ({(1,-3,2)}].
Tomando , uma base é .
Passo 5
Cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1 e há 3 autovetores linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e a base que a diagonaliza é formada pelos autovetores encontrados.