[07] Determine se a transformação linear T é diagonalizável. Caso seja, determinar uma base B que diagonaliza T.
T: R^3 R^3 com T(x, y, z)=(x-z,-y,-x+y+z)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-z,,-y,,-x+y+z)
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de transformações via autovalores e autovetores. Vamos: (1) achar a matriz de T na base canônica; (2) calcular o polinômio característico e os autovalores; (3) para cada autovalor, achar a base do espaço próprio; (4) verificar se há 3 autovetores independentes e, em caso afirmativo, montar a base que diagonaliza.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,-1),; T(e2)=(0,-1,1),; T(e3)=(-1,0,1)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & -1 0 & -1-lambda & 0 -1 & 1 & 1-lambda =lambda(1+lambda)(2-lambda)
Os autovalores são lambda1=0, lambda2=-1 e lambda3=2, todos distintos.

Passo 4

Para cada [\lambda) resolvemos .
  1. :
Uma base do espaço próprio é ({(1,0,1)}].
Uma base é ({(1,-3,2)}].
Tomando , uma base é .

Passo 5

Cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1 e há 3 autovetores linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e a base que a diagonaliza é formada pelos autovetores encontrados.

Resposta

T é diagonalizável. Uma base que diagonaliza T é
B=l(1,0,1),;(1,-3,2),;(1,0,-1)r,
com respectivo autovalores 0, -1 e 2.

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