Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
T: R^3 R^3 com T(x, y, z)=(7 x, 0, y-z)

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o polinômio característico e o polinômio minimal da transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (7x,;0,;y-z)
O conteúdo principal é representação matricial em base canônica, cálculo de determinante para obter o polinário característico e análise dos blocos de Jordan (ou da diagonalização) para encontrar o polinômio minimal.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3, temos
T(e1) = (7,0,0), T(e2) = (0,0,1), T(e3) = (0,0,-1)
Logo a matriz de T é
A = 7 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1

Passo 3

Para achar o polinômio característico calculamos
det(A - lambda I) = det 7-lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 0 0 & 1 & -1-lambda =(7-lambda),det-lambda & 01 & -1-lambda
=(7-lambda)l((-lambda)(-1-lambda)-0cdot1r) =(7-lambda),lambda,(lambda+1)

Passo 4

O polinômio característico é
chiT(lambda)=(7-lambda),lambda,(lambda+1),
cuas raízes são lambda=7,0,-1, todas de multiplicidade algébrica 1. Isso significa que não há fatores repetidos nem blocos de Jordan de ordem maior que 1.

Passo 5

Como todos os autovalores são distintos, T é diagonalizável e o polinômio minimal tem exatamente os mesmos fatores lineares, cada um de ordem 1. Portanto
mT(lambda)=(7-lambda),lambda,(lambda+1)

Resposta

polinômio característico: chiT(lambda)=(7-lambda),lambda,(lambda+1)
polinômio minimal: mT(lambda)=(7-lambda),lambda,(lambda+1)

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