Ex-04 (Força magnética sobre um fio curvo em campo variável) Um fio condutor fino está disposto ao longo da reta definida pela equação paramétrica \vec{r}=\left(t, t^{2}, 0\right) conduz uma corrente de 2 A no sentido crescente da curva. O campo magnético na região é \vec{B}=
(0,0, x). Calcule a força magnética total sobre o fio. Obs: os portadores de carga se deslocam 2 s ao longo fio.
Passo 1
O enunciado dá um fio condutor fino ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=(t,t^{2},0), com corrente I=2,A no sentido crescente de t, num campo magnético \vec{B}(x,y,z)=(0,0,x). Os portadores de carga percorrem o fio durante 2,s, então usamos o intervalo t\in[0,2]. Para calcular a força magnética total usamos a lei de Ampère para fios:
\vec{F}=I\int_{C}d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Passo 2
Parametrizamos o elemento de comprimento do fio por t. Como \vec{r}(t)=(t,t^{2},0), temos