Ex-04 (Força magnética sobre um fio curvo em campo variável) Um fio condutor fino está disposto ao longo da reta definida pela equação paramétrica \vec{r}=\left(t, t^{2}, 0\right) conduz uma corrente de 2 A no sentido crescente da curva. O campo magnético na região é \vec{B}=
(0,0, x). Calcule a força magnética total sobre o fio. Obs: os portadores de carga se deslocam 2 s ao longo fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio condutor fino ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=(t,t^{2},0), com corrente I=2,A no sentido crescente de t, num campo magnético \vec{B}(x,y,z)=(0,0,x). Os portadores de carga percorrem o fio durante 2,s, então usamos o intervalo t\in[0,2]. Para calcular a força magnética total usamos a lei de Ampère para fios:
\vec{F}=I\int_{C}d\vec{\ell}\times\vec{B}.

Passo 2

Parametrizamos o elemento de comprimento do fio por t. Como \vec{r}(t)=(t,t^{2},0), temos
d\vec{\ell}=\frac{d\vec{r}}{dt}\,dt=(1,2t,0)\,dt
e, como x=t, o campo é \vec{B}=(0,0,t).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial em função de t:
d\vec{\ell}\times\vec{B} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2t&0\\\\ 0&0&t \end{vmatrix} =(2t\cdot t)\,\mathbf{i} - (1\cdot t)\,\mathbf{j} +0\,\mathbf{k} =(2t^{2},-t,0)\,dt.

Passo 4

Integramos de t=0 a t=2:
\int_{0}^{2}(2t^{2},-t,0)\,dt =\Bigl(\tfrac{2}{3}t^{3},-\tfrac{1}{2}t^{2},0\Bigr)\Big|_{0}^{2} =\Bigl(\tfrac{16}{3},-2,0\Bigr).

Passo 5

Multiplicamos pelo valor da corrente I=2,A para obter a força total:
\vec{F}=2\cdot\Bigl(\tfrac{16}{3},-2,0\Bigr) =\Bigl(\tfrac{32}{3},-4,0\Bigr)\,\text{N}.

Resposta

\vec{F}=\Bigl(\tfrac{32}{3},-4,0\Bigr)\,\text{N}.

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