Ex-03 (Força magnética sobre um fio curvo em campo uniforme) Um fio condutor fino está disposto ao longo da curva definida pela equação paramétrica \vec{r}=t \vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath} conduz uma corrente de 2 A no sentido crescente da curva. O campo magnético na região é \mathrm{B}=2 \mathrm{~T} aplicado ao longo do eixo-z. Calcule a força magnética total sobre o fio. Obs: os portadores de carga se deslocam 2 s ao longo fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio fino seguindo a curva
\vec r(t)=t\,\hat\imath + t^{2}\,\hat\jmath
e uma corrente constante de I=2\\ \mathrm{A} no sentido de t crescente. O campo magnético é uniforme e vale
\vec B = 2\,\hat k\\ \mathrm{T}.
Para encontrar a força magnética total sobre o fio, usamos a expressão
\vec F = I\int \mathrm{d}\vec\ell \times \vec B,
onde \mathrm{d}\vec\ell é um elemento de comprimento ao longo do fio.

Passo 2

Parametrizando o fio em função de t, o elemento de comprimento é
\mathrm{d}\vec\ell = \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t \quad\text{com}\quad \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} =\hat\imath + 2t\,\hat\jmath.
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\mathrm{d}\vec\ell = \bigl(\hat\imath + 2t\,\hat\jmath\bigr)\mathrm{d}t.

Passo 3

O diferencial de força é
\mathrm{d}\vec F =I\,\mathrm{d}\vec\ell \times \vec B =2\;\bigl(\hat\imath + 2t\,\hat\jmath\bigr)\times (2\,\hat k)\,\mathrm{d}t.
Como \hat\imath\times\hat k=-\hat\jmath e \hat\jmath\times\hat k=\hat\imath, vem
\mathrm{d}\vec F =2\bigl[2(\hat\imath\times\hat k)+4t(\hat\jmath\times\hat k)\bigr]\mathrm{d}t =2\bigl[-2\,\hat\jmath+4t\,\hat\imath\bigr]\mathrm{d}t.

Passo 4

Os portadores percorrem o fio por 2 s, então integramos de t=0 até t=2:
\vec F =2\int_{0}^{2}\bigl(-2\,\hat\jmath+4t\,\hat\imath\bigr)\mathrm{d}t =2\Bigl[\,-2t\,\hat\jmath+2t^{2}\,\hat\imath\Bigr]_{0}^{2}.
Avaliação em t=2 -4\,\hat\jmath+8\,\hat\imath e em t=0 dá o zero. Assim
\vec F =2\,(8\,\hat\imath-4\,\hat\jmath) =16\,\hat\imath -8\,\hat\jmath\quad(\mathrm{N}).

Resposta

\vec F =16\,\hat\imath -8\,\hat\jmath\\ \mathrm{N}.

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