Ex-05 (Força magnética sobre um fio curvo em campo variável) Considere um fio em forma de espiral plana no plano xy, com equação paramétrica: \vec{r}=\alpha(t \cos (t) \vec{\imath}+
t \sin (t) \vec{\jmath}), com t \in[0,2 \pi] e corrente I no sentido crescente de t. Um campo magnético uniforme é aplicado \vec{B}=B_{0} \vec{k}. Calcule a força magnética total sobre o fio espiral. Mostre o uso de cálculo vetorial em coordenadas polares.
t \sin (t) \vec{\jmath}), com t \in[0,2 \pi] e corrente I no sentido crescente de t. Um campo magnético uniforme é aplicado \vec{B}=B_{0} \vec{k}. Calcule a força magnética total sobre o fio espiral. Mostre o uso de cálculo vetorial em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado descreve uma espiral plana no plano
dada por
, com
, percorrida por uma corrente
no sentido crescente de
. Um campo magnético uniforme
atua sobre o fio. A força magnética total é
Vamos usar coordenadas polares, escrevendo
em
e fazendo o produto vetorial.
Passo 2
Em polares temos
e
, logo
Como
e
,
Passo 3
A força total é
Como
e
dependem de
, use
,
.
Passo 4
Calcule cada termo em
:
pois
e
.
Logo
Passo 5
O resultado mostra que a força magnética total é constante em direção (negativa de
) e tem magnitude
.