Ex-05 (Força magnética sobre um fio curvo em campo variável) Considere um fio em forma de espiral plana no plano xy, com equação paramétrica: \vec{r}=\alpha(t \cos (t) \vec{\imath}+
t \sin (t) \vec{\jmath}), com t \in[0,2 \pi] e corrente I no sentido crescente de t. Um campo magnético uniforme é aplicado \vec{B}=B_{0} \vec{k}. Calcule a força magnética total sobre o fio espiral. Mostre o uso de cálculo vetorial em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado descreve uma espiral plana no plano xy dada por \displaystyle \vec{r}(t)=\alpha\,t\cos t\,\hat{i}+\alpha\,t\sin t\,\hat{j}, com t\in[0,2\pi], percorrida por uma corrente I no sentido crescente de t. Um campo magnético uniforme \vec{B}=B_{0}\,\hat{k} atua sobre o fio. A força magnética total é
\vec{F}=I\oint \mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}\,.
Vamos usar coordenadas polares, escrevendo \mathrm{d}\vec{\ell} em \hat{r},\hat{\theta} e fazendo o produto vetorial.

Passo 2

Em polares temos r=\alpha t e \theta=t, logo
\mathrm{d}r=\alpha\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}\theta=\mathrm{d}t,
\mathrm{d}\vec{\ell} =\mathrm{d}r\,\hat{r}+r\,\mathrm{d}\theta\,\hat{\theta} =\alpha\,\mathrm{d}t\,\hat{r}+\alpha t\,\mathrm{d}t\,\hat{\theta}.
Como \hat{r}\times\hat{k}=-\hat{\theta} e \hat{\theta}\times\hat{k}=\hat{r},
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B} =B_{0}\bigl(\alpha\,\mathrm{d}t\,\hat{r}\times\hat{k} +\alpha t\,\mathrm{d}t\,\hat{\theta}\times\hat{k}\bigr) =\alpha B_{0}\bigl(-\mathrm{d}t\,\hat{\theta}+t\,\mathrm{d}t\,\hat{r}\bigr).

Passo 3

A força total é
\vec{F} =I\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B} =\alpha I B_{0}\Bigl[\int_{0}^{2\pi}t\,\mathrm{d}t\,\hat{r} -\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}t\,\hat{\theta}\Bigr].
Como \hat{r} e \hat{\theta} dependem de t, use \hat{r}=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}, \hat{\theta}=-\sin t\,\hat{i}+\cos t\,\hat{j}.

Passo 4

Calcule cada termo em \hat{i},\hat{j}:
\int_{0}^{2\pi}t\,\hat{r}\,\mathrm{d}t =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}t\cos t\,\mathrm{d}t\Bigr)\hat{i} +\Bigl(\int_{0}^{2\pi}t\sin t\,\mathrm{d}t\Bigr)\hat{j} =0\,\hat{i}-2\pi\,\hat{j},
pois \int_{0}^{2\pi}t\cos t\,\mathrm{d}t=0 e \int_{0}^{2\pi}t\sin t\,\mathrm{d}t=-2\pi.
\int_{0}^{2\pi}\hat{\theta}\,\mathrm{d}t =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}-\sin t\,\mathrm{d}t\Bigr)\hat{i} +\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\mathrm{d}t\Bigr)\hat{j} =0.
Logo
\vec{F} =\alpha I B_{0}\bigl(0\,\hat{i}-2\pi\,\hat{j}\bigr) =-2\pi\,\alpha I B_{0}\,\hat{j}.

Passo 5

O resultado mostra que a força magnética total é constante em direção (negativa de y) e tem magnitude 2\pi\alpha I B_{0}.

Resposta

\boxed{\vec{F}=-2\pi\,\alpha\,I\,B_{0}\,\hat{j}.}

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