Ex-02 (Força magnética sobre um fio retilíneo em campo uniforme) Um fio condutor fino está disposto ao longo da reta definida pela equação paramétrica \vec{r}=t \vec{\imath}+t \vec{\jmath} conduz uma corrente de 2 A no sentido crescente da curva. O campo magnético na região é \mathrm{B}=2 \mathrm{~T} aplicado ao longo do eixo-z. Calcule a força magnética total sobre o fio. Obs: os portadores de carga se deslocam 2 s ao longo fio.

Passo 1

O fio está sobre a reta dada por \displaystyle \vec r(t)=t\,\vec\imath+t\,\vec\jmath,
com corrente constante I=2\:\mathrm A no sentido de t crescente. O campo magnético é uniforme \displaystyle \vec B=2\,\vec k\:\mathrm T.
Queremos a força magnética total sobre o segmento do fio “percorrido” pelos portadores de carga em 2\:\mathrm s. O conceito-chave é que a força sobre um fio retilíneo é
\vec F \;=\; I\int_{\ell}\mathrm d\vec\ell\times\vec B.

Passo 2

Expressamos o elemento de comprimento do fio em função de t. Como
\mathrm d\vec\ell \;=\;\mathrm d\vec r \;=\;\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt}\,\mathrm dt \;=\;(\vec\imath+\vec\jmath)\,\mathrm dt,
temos \mathrm d\vec\ell=(\vec\imath+\vec\jmath)\,\mathrm dt.

Passo 3

O diferencial de força magnética é
\mathrm d\vec F \;=\;I\,\mathrm d\vec\ell\times\vec B \;=\;I\,(\vec\imath+\vec\jmath)\,\mathrm dt\times2\,\vec k \;=\;2I\bigl((\vec\imath+\vec\jmath)\times\vec k\bigr)\,\mathrm dt.
Usamos \vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath e \vec\jmath\times\vec k= \vec\imath,
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(\vec\imath+\vec\jmath)\times\vec k =-\vec\jmath+\vec\imath.
Assim
\mathrm d\vec F=2I\,(-\vec\jmath+\vec\imath)\,\mathrm dt.

Passo 4

Integramos \mathrm d\vec F de t=0 a t=2\:\mathrm s:
\vec F =\int_0^2\mathrm d\vec F =\int_0^2 2I\,(-\vec\jmath+\vec\imath)\,\mathrm dt =2I\,(-\vec\jmath+\vec\imath)\int_0^2\mathrm dt =4I\,(-\vec\jmath+\vec\imath).
Como I=2\:\mathrm A,
\vec F =4\cdot2\,(-\vec\jmath+\vec\imath) =8\,\vec\imath -8\,\vec\jmath \quad\mathrm N.

Resposta

\displaystyle \vec F =8\,\vec\imath -8\,\vec\jmath\:\mathrm N

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