06 - Seja x um número inteiro, 0<\mathrm{x} \leq 60 e o conjunto A=\left\{k \in \mathbb{N} \left\lvert\, k=\frac{60}{x}\right.\right\}. Nessas condições, o número máximo de elementos do conjunto A é
a) 6
b) 8
c) 12
d) 16

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • x é um número inteiro e satisfaz 0 < x \leq 60.
  • O conjunto A é definido por A=\left\{k \in \mathbb{N} \left\lvert\, k=\frac{60}{x}\right.\right\}.
    A pergunta do enunciado: qual é o número máximo de elementos que o conjunto A pode ter? (Há opções: a) 6, b) 8, c) 12, d) 16.)

Passo 2

Entendendo o que elementos de A são: um número k pertence a A quando existe um inteiro x com 1\le x\le 60 tal que k=\dfrac{60}{x} e k é natural. Para que \dfrac{60}{x} seja natural, é necessário e suficiente que x seja um divisor de 60. Logo os valores possíveis de k são exatamente os quocientes \dfrac{60}{x} quando x percorre os divisores positivos de 60.

Passo 3

Observação sobre contagem: se x_1 e x_2 são dois inteiros tais que \dfrac{60}{x_1}=\dfrac{60}{x_2}, então multiplicando ambos os lados por x_1x_2 obtém-se 60x_2=60x_1 e, portanto, x_1=x_2. Assim, a aplicação x\mapsto \dfrac{60}{x} é injetora no conjunto dos divisores de 60. Na prática isso significa que o número de elementos distintos de A é igual ao número de divisores positivos de 60.

Passo 4

Para contar os divisores positivos de 60 usamos fatoração em primos. Vamos fatorar 60:
60=2^2\cdot 3^1\cdot 5^1.
Regra de contagem de divisores: se
n=\prod_{i} p_i^{a_i}
é a fatoração em primos de n, então o número de divisores positivos de n é
\prod_{i} (a_i+1).
A ideia por trás da fórmula: um divisor é obtido escolhendo para cada primo p_i um expoente entre 0 e a_i; o número de escolhas independentes é (a_i+1), multiplicando-se dá o total.

Passo 5

Aplicando a fórmula a 60=2^2\cdot3^1\cdot5^1, o número de divisores é
(2+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=3\cdot2\cdot2=12.
Portanto o conjunto A pode ter, no máximo, 12 elementos (na verdade tem exatamente 12, pois para cada divisor x de 60 com 1\le x\le60 o valor 60/x gera um elemento distinto de A).
Logo, a resposta correta é a alternativa c) 12.

Resposta

c) 12

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